Holevo teoremi

Holevo teoremi - fizika və kompüter elmlərinin fənlərarası sahəsi olan kvant hesablamaları sahəsində mühüm məhdudlaşdırıcı teoremdir. Bəzən buna Holevo bağlı deyilir, çünki teorem kvant vəziyyəti (mövcud məlumat) haqqında öyrənilə bilən məlumatların miqdarına yuxarı hədd qoyur. Teorem 1973-cü ildə Alexander Semyonoviç Holevo tərəfindən nəşr edilmişdir.

Giriş məlumatı

Kvant informasiya nəzəriyyəsindəki digər anlayışlarda olduğu kimi, məsələnin mahiyyətini iki nəfər arasında ünsiyyət nümunəsi ilə başa düşmək daha asandır. Bizə Alice və Bob olsun. Alis klassik təsadüfi dəyişən X-ə malikdir və müvafiq ehtimallarla {1, 2, ..., n } dəyərlərini qəbul edə bilər. {𝑝₁, 𝑝₂, …, 𝑝𝑛}. Alice sıxlıq matrisi ilə təmsil olunan kvant vəziyyətini hazırlayır 𝜌𝑋, dəstdən seçilir {𝜌₁, 𝜌₂, … 𝜌𝑛}, və bu vəziyyəti Boba ötürür. Bobun məqsədi vəziyyətin ölçülməsi ilə həyata keçirilən X dəyərini tapmaqdır 𝜌𝑋 Y ilə işarələnən klassik nəticəni verən . Bu kontekstdə mövcud informasiyanın miqdarı, yəni Bobun X dəyişəni vasitəsilə əldə edə biləcəyi məlumatın miqdarı X və Y təsadüfi dəyişənləri arasında I ( X : Y ) qarşılıqlı məlumatın bütün mümkün olan maksimum dəyəridir.

Mövcud məlumatı hesablamaq üçün hazırda məlum formula yoxdur. Bununla belə, bir neçə yuxarı hədd var ki, onlardan ən yaxşı məlum olanı aşağıdakı teorem ilə ifadə olunan Holevo sərhədidir.

Teoremin ifadəsi

Qoy $\{\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}\}$ qarışıq dövlətlər dəsti olacaq və icazə ehtimal paylanmasına görə çəkilmiş bu vəziyyətlərdən biri olacaq $\rho _{X}$ İndi POVM elementləri ilə təsvir olunan istənilən ölçü üçün (ing. positive operator-valued measure, müsbət operator ölçüsü) və həyata keçirilir $P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$. Y ölçmə nəticəsi şəklində X dəyişənindən mövcud olan məlumatların miqdarı yuxarıdan aşağıdakı kimi məhdudlaşdırılır: : $I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})$

Harada $\rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i}$ ; $S(\cdot )$ fon Neyman entropiyasıdır.

Bərabərsizliyin sağ tərəfindəki kəmiyyət Holevo məlumatı və ya Holevo kəmiyyəti x adlanır:

$\chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})$.

Sübut

Bunu sübut etmək üçün adlanan üç kvant sistemini nəzərdən keçirək $P,Q,M$.

Harada $P$ hazırlıq hesab olunur, $Q$ - Alice tərəfindən hazırlanmış və Bob-a ötürülən kvant vəziyyəti kimi, və $M$ - Bobun qəbul etdiyi məlumatı ölçmək vasitəsi kimi.

Mürəkkəb sistem $P\otimes Q\otimes M$ başlanğıcda vəziyyətdədir

$\rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|$

Alisin vəziyyəti $P$ sanki Alice vacibdir $x$ təsadüfi dəyişən üçün. Sonra hazırlıq vəziyyəti sıxlıq matrisi ilə təsvir edilən qarışıq vəziyyətdir ∑$\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|$, Boba ötürülən kvant vəziyyəti bərabərdir ∑$\sum _{x}p_{x}\rho _{x}$ və Bobun ölçü alətləri ilkin və ya boş vəziyyətdədir $|0\rangle$.

Kvant informasiya nəzəriyyəsinin məlum nəticələrindən istifadə

$S(P';M')\leqslant S(P;Q)$

Həmçinin bəzi cəbri hesablamalardan sonra göstərə bilərik ki, bu teorem ifadəsinə ekvivalentdir.

Qeydlər

Əslində, Holevo sərhədi sübut edir ki, n kubit üçün onlar kvant superpozisiyasına görə daha çox (klassik) məlumat "daşıya" bilsələr də, çıxarıla bilən, yəni praktikada əldə edilən klassik məlumatların miqdarı n klassikdən çox deyil. yəni kvant kodlu bitlər deyil. Bu iki səbəbə görə təəccüblüdür.

• Kvant hesablamaları çox vaxt adi hesablamalardan o qədər güclüdür ki, nəticələr onun adi üsullardan yalnız bir qədər yaxşı və ya hətta daha pis olduğunu göstərir;

• tələb olunur $2^{n}$ yalnız n biti təmsil edən qubiti kodlaşdırmaq üçün kompleks ədədlər.

Həmçinin bax

• Kvant ultra sıx kodlaşdırma