Tərs triqonometrik funksiyalar (dairəvi funksiya , arkfunksiya ) — triqonometrik funksiyalar tərsinə çevrilə bilən riyazi funksiyalardır . Tərs triqonometrik funksiyalara əsasən altı funksiya daxildir:
arksinus (
a
r
c
s
i
n
x
;
a
r
c
s
i
n
x
{\displaystyle \mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x}
— bu bucağın sinusu
x
{\displaystyle x}
-ə bərabərdir)
arkkosinus (
a
r
c
c
o
s
x
;
a
r
c
c
o
s
x
{\displaystyle \mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x}
— bu bucağın kosinusu
x
{\displaystyle x}
-ə bərabərdir)
arktangens (
a
r
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}
; xarici ədəbiyyatlarda
a
r
c
t
a
n
x
{\displaystyle \mathrm {arctan} \,x}
)
arkkotangens (
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}
; xarici ədəbiyyatlarda
a
r
c
c
o
t
x
{\displaystyle \mathrm {arccot} \,x}
və ya
a
r
c
c
o
t
a
n
x
{\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x}
)
arksekans(
a
r
c
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x}
)
arkkosekans(
a
r
c
c
o
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x}
; xarici ədəbiyyatlarda
a
r
c
c
s
c
x
{\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x}
)
Triqonometrik funksiyaların adının qarışındakı "arc" sözü( lat. arc us — ox, qövs, qövsəoxşar xətt) bu funksiyaları tərs triqonometrik funksiyaların adına çevirir. Bu onunla bağlıdır ki, tərs triqonometrik funksiyaların həndəsi qiyməti vahid çevrənin qövsünün uzunluğu ilə əlaqələndirmək olar. Tərs triqonometrik funksiyalar anlayışını Laqranj köməyi ilə Avstriya riyaziyyatçısı Karla Şerfer (alm. Karl Scherffer ; 1716—1783) daxil etmişdir.
Əsas eyniliklər
redaktə
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
2
{\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}
arctg
x
+
arcctg
x
=
π
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}}
Arksinus funksiyası
redaktə
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
funksiyasının qrafiki.
Arksinus - m ədədinin x bucağının qiymətinə , radian ifadəsinə deyilir, hansı ki,
sin
x
=
m
,
−
π
2
⩽
x
⩽
π
2
,
|
m
|
⩽
1.
{\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1.}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur.
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
funksiyası ciddi artandır.
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }
−
1
⩽
x
⩽
1
,
{\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}
arcsin
(
sin
y
)
=
y
{\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }
−
π
2
⩽
y
⩽
π
2
,
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},}
D
(
arcsin
x
)
=
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }
(təyin oblastı),
E
(
arcsin
x
)
=
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }
(qiymətlər çoxluğu).
Arksinus funksiyasının xassələri
redaktə
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }
(tək funksiyadır).
0
<
x
⩽
1
{\displaystyle 0<x\leqslant 1}
olduqda
arcsin
x
>
0
{\displaystyle \arcsin x>0}
.
x
=
0
{\displaystyle x=0}
olduqda
arcsin
x
=
0
{\displaystyle \arcsin x=0}
.
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle -1\leqslant x<0}
olduqda
arcsin
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x<0}
.
arcsin
x
=
{
arccos
1
−
x
2
,
0
⩽
x
⩽
1
−
arccos
1
−
x
2
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
arcsin
x
=
arctg
x
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsin
x
=
{
arcctg
1
−
x
2
x
,
0
<
x
⩽
1
arcctg
1
−
x
2
x
−
π
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
Arcsin funksiyasının alınışı
redaktə
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
funksiyası verilmişdir. Bu funksiya özünün bütün təyin oblastında hissə-hissə monotondur, və deməli, uyğun olaraq tərsi
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
funksiyası təyin edilməyibdir. Buna görə də elə parçaya baxmaq lazımdır ki, tərs funksiyası artan olsun və bütün qiymətlər çoxluğunda —
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
doğrudur. Belə ki,
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
funksiyası üçün
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
intervalda funksiyanın hər bir qiyməti yeganə arqument qiymətinə yığılır, onda bu parçada
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
tərs funksiyası,
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
parçasında
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
funksiyasının qrafikinə simmetrik qrafiki var.
Arccos funksiyası
redaktə
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
funksiyasının qrafiki.
Arkkosinus - Elə m ədədinə deyilir ki, radian ölçüsündə x bucağına bərabərdir, hansı ki,
cos
x
=
m
,
0
⩽
x
⩽
π
,
|
m
|
⩽
1
{\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur.
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
funksiyası ciddi azalandır.
cos
(
arccos
x
)
=
x
{\displaystyle \cos(\arccos x)=x}
−
1
⩽
x
⩽
1
{\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}
olduqda,
arccos
(
cos
y
)
=
y
{\displaystyle \arccos(\cos y)=y}
0
⩽
y
⩽
π
{\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi }
olduqda,
D
(
arccos
x
)
=
[
−
1
;
1
]
,
{\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}
(təyin oblastı),
E
(
arccos
x
)
=
[
0
;
π
]
.
{\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}
(qiymətlər oblastı).
Arccos funksiyasının xassələri
redaktə
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}
(funksiyanın
(
0
;
π
2
)
{\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}
) mərkəzi-simmetrik nöqtəsidir, cüt funksiyadır.
arccos
x
>
0
{\displaystyle \arccos x>0}
,
−
1
⩽
x
<
1
{\displaystyle -1\leqslant x<1}
olduqda,
arccos
x
=
0
{\displaystyle \arccos x=0}
,
x
=
1
{\displaystyle x=1}
olduqda
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
.
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}
arccos
x
=
{
arcsin
1
−
x
2
,
0
⩽
x
⩽
1
π
−
arcsin
1
−
x
2
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
arccos
x
=
{
arctg
1
−
x
2
x
,
0
<
x
⩽
1
π
+
arctg
1
−
x
2
x
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}
arccos
x
=
2
arcsin
1
−
x
2
{\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}
arccos
x
=
2
arccos
1
+
x
2
{\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}
arccos
x
=
2
arctg
1
−
x
1
+
x
{\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}
Arccos funksiyasının alınışı
redaktə
arctg funksiyası
redaktə
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}
funksiyasının qrafiki.
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}
funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur.
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}
funksiyası ciddi artandır.
tg
(
arctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x}
,
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
olduqda
arctg
(
tg
y
)
=
y
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y}
,
−
π
2
<
y
<
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
olduqda
D
(
arctg
x
)
=
(
−
∞
;
∞
)
,
{\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
E
(
arctg
x
)
=
(
−
π
2
;
π
2
)
{\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}
arctg funksiyasının xassələri
redaktə
arctg
(
−
x
)
=
−
arctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad }
arctg
x
=
arcsin
x
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arctg
x
=
arccos
1
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
, при x > 0.
arctg
x
=
arcctg
1
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}}
arctg
x
=
−
i
arcth
i
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arcth} {ix}}
, haradakı
arcth
{\displaystyle \operatorname {arcth} }
— hiperbolik arktangens.
arcth
x
=
i
arctg
i
x
{\displaystyle \operatorname {arcth} x=i\operatorname {arctg} {ix}}
arctg funksiyasının alınışı
redaktə
arcctg funksiyası
redaktə
y
=
arcctg
x
.
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x.}
funksiyasının qrafiki
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. Функция
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}
funksiyası ciddi azalandır.
ctg
(
arcctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,(\operatorname {arcctg} \,x)=x}
,
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
olduqda
arcctg
(
ctg
y
)
=
y
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(\operatorname {ctg} \,y)=y}
,
0
<
y
<
π
{\displaystyle 0<y<\pi }
olduqda
D
(
arcctg
x
)
=
(
−
∞
;
∞
)
,
{\displaystyle D(\operatorname {arcctg} \,x)=(-\infty ;\infty ),}
E
(
arcctg
x
)
=
(
0
;
π
)
.
{\displaystyle E(\operatorname {arcctg} \,x)=(0;\pi ).}
arcctg funksiyasının xassələri
redaktə
arcctg
(
−
x
)
=
π
−
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \,x}
(
(
0
;
π
2
)
.
{\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).}
arcctg
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x>0}
, istənilən
x
{\displaystyle x}
olduqda
arcctg
x
=
{
arcsin
1
1
+
x
2
,
x
⩾
0
π
−
arcsin
1
1
+
x
2
,
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}
arcctg
x
=
π
/
2
−
arctg
x
.
{\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.}
arcctg funksiyasının alınışı
redaktə
arcsec funksiyası
redaktə
arcsec
(
x
)
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)}
arccosec funksiyası
redaktə
arccosec
(
y
)
=
arcsin
(
1
y
)
{\displaystyle \mathop {\operatorname {arccosec} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)}
Tərs triqonometrik funksiyaların törəmələri
redaktə
Tərs triqonometrik funksiyaların inteqralları
redaktə
Qeyri-müəyyən inteqral
redaktə
x həqiqi və kompleks qiymətlər üçün :
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
,
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
,
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcctg
x
d
x
=
x
arcctg
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
,
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
(
x
(
1
+
x
2
−
1
x
2
)
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}}
x ≥ 1 həqiqi qiymətlər üçün:
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
,
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}
Həndəsəyə tətbiqi
redaktə
Əgər üçbucağın tərəfləri verilərsə, onda üçbucağın bucaqlarının tapılması üçün tərs triqonometrik funksiyalarından istifadə edilir. Məsələn: Kosinuslar teoremi ilə tapılır.
Düzbucaqlı üçbucaqda, bucağı tərəflər arasındakı münasibət vasitəsilə bu funksiyalarla alınır:
α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)
Natural loqarifmlə əlaqəsi
redaktə
Kompleks arqumentli tərs triqonometrik funksiyaların dəyişəninin həlli üçün natural loqarifmlərlə verilməsi düsturları:
arcsin
z
=
−
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
=
π
2
−
i
ln
(
z
+
z
2
−
1
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}}
arccos
z
=
π
2
+
i
ln
(
i
z
+
1
−
z
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}
arctg
z
=
i
2
(
ln
(
1
−
i
z
)
−
ln
(
1
+
i
z
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}
arcctg
z
=
i
2
(
ln
(
z
−
i
z
)
−
ln
(
z
+
i
z
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}
arcsec
z
=
arccos
(
z
−
1
)
=
π
2
+
i
ln
(
1
−
1
z
2
+
i
z
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}
arccosec
z
=
arcsin
(
z
−
1
)
=
−
i
ln
(
1
−
1
z
2
+
i
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}