Çoxluqların düz hasili

Tutaq ki, boş olmayan iki $A$ və $B$ çoxluqları verilmişdir. $a\in A$ və $b\in B$ elementləri götürək. Əgər iki elementli $\{a,b\}$ çoxluğunu düzəltsək, aydındır ki, $\{a,b\}=\{b,a\}$ olacaqdır. Yəni bu çoxluqlardan götürülmüş elementlərin hansı ardıcıllıqla yazılmasından asılı olmadan $\{a,b\}$ çoxluğu dəyişmir. İndi elementlər cütünü elə düzəldək ki, birinci element həmişə birinci çoxluqdan, yəni $A$ çoxluğundan, ikinci element isə $B$ çoxluğundan götürülmüş olsun. Belə cüt nizamlı cüt adlanır və $\left\langle a,b\right\rangle$ kimi işarə olunur. Deyilənlərdən aydındır ki, $\left\langle a,b\right\rangle \neq \left\langle b,a\right\rangle$ . İki $\left\langle a,b\right\rangle$ və $\left\langle a',b'\right\rangle$ ($a,a'\in A\land b,b'\in B$) cütləri o zaman bərabər hesab olunur ki, $a=a'\land b=b'$ olsun: $\left\langle a,b\right\rangle =\left\langle a',b'\right\rangle \leftrightarrow a=a'\land b,b'$ . $a$ elementinə nizamlı cütün birinci elementi, $b$-yə isə onun ikinci elementi deyilir.

Tərif 1. Birinci elementi $A$ çoxluğundan, ikinci elementi isə $B$ çoxluğundan götürülmüş bütün mümkün nizamlı cütlər çoxluğuna $A$ və $B$ çoxluqlarının düz hasili deyilir və belə işarə olunur: $A\times B$ .

Tərifə əsasən yaza bilərik: $A\times B=\{\left\langle a,b\right\rangle |a\in A\land b\in B\}$.

Misal. $A=\{1,2,3\}$ və $B=\{a,b\}$ çoxluqlarının düz hasilini yazaq.

$A\times B=\{\left\langle 1,a\right\rangle ,\left\langle 1,b\right\rangle ,\left\langle 2,a\right\rangle ,\left\langle 2,b\right\rangle ,\left\langle 3,a\right\rangle ,\left\langle 3,b\right\rangle \}$

Eyni qayda ilə,

$B\times A=\{\left\langle a,1\right\rangle ,\left\langle b,1\right\rangle ,\left\langle a,2\right\rangle ,\left\langle b,2\right\rangle ,\left\langle a,3\right\rangle ,\left\langle b,3\right\rangle \}$

Göründüyü kimi ${A\times B}\neq {B\times A}$. Deməli, çoxluqların düz hasili kommutativlik xassəsinə malik deyil. Asanlıqla yəqin etmək olar ki, düz hasil üçün assosiativlik xassəsi də ödənilmir:

${A\times (B\times C)}\neq {(A\times B)\times C}$

Doğrudan da, sol tərəf $\left\langle a,\left\langle b,c\right\rangle \right\rangle$ kimi, birinci elementi $A$ çoxluğuna daxil olan cütlərdən, sağ tərəf isə $\left\langle \left\langle a,b\right\rangle ,c\right\rangle$ kimi, birinci elementi $A\times B$ hasilinə daxil olan cütlərdən ibarətdir. Deməli, bu hasillər həqiqətən müxtəlifdirlər. Lakin bu çoxluqlar arasında

$\left\langle a,\left\langle b,c\right\rangle \right\rangle \leftrightarrow \left\langle \left\langle a,b\right\rangle ,c\right\rangle$

kimi qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq vardır.

Teorem 1. İxtiyari $A,B,C$ çoxluqları üçün aşağıdakı münasibətlər ödənilir:

a) ${(A\cup B)}\times C={A\times C}\cup {B\times C}$ ;

b) ${(A\cap B)}\times C={A\times C}\cap {B\times C}$ ;

c) ${(A\backslash B)}\times C={A\times C}\backslash {B\times C}$ ;

d) $A\times \emptyset =\emptyset \times A=\emptyset$.

Teoremin isbatı oxucuya təklif olunur.

Nizamlı cüt anlayışının ümumiləşməsi $n(n\geq 1)$ elementli kortej anlayışıdır. Tutaq ki, $A_{1},A{2},....,A_{n}$ çoxluqları verilmişdir. $i$ -ci həddi $A_{i}$ çoxluğundan olan $(a_{1},a{2},....,a_{n})$ şəklində sonlu ardıcıllıq $n$ elementli kortej adlanır. $a_{i}$ elementlərinə kortejin elementləri deyilir. İki kortejin bərabərlik şərti aşağıdakı münasibətlə müəyyən edilir:

$(a_{1},a_{2},....,a_{n})=(a'_{1},a'_{2},....,a'_{n})\leftrightarrow a_{1}=a'_{1}\land a_{2}=a'_{2}\land .....\land a_{n}=a'_{n}$

Tərif 2. $i$ -ci həddi $A_{i}$ çoxluğundan olan bütün mümkün $(a_{1},a_{2},....,a_{n})$ şəklində $n$-elementli kortejlər çoxluğuna $A_{1},A_{2},....,A_{n}$ çoxluqlarının düz hasili deyilir və belə işarə olunur: $A_{1}\times A_{2}\times ......\times A_{n}$. Əgər $A_{1}=A_{2}=....=A_{n}=A$ olarsa, $A_{1}\times A_{2}\times ......\times A_{n}=A^{n}$ yazılışı da işlədilir (çoxluğun Dekart qüvvəti).

1. Mustəvi üzərində düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində hər bir nöqtə iki elementli $\left\langle x,y\right\rangle =(x,y)$ korteji vasitəsi ilə göstərilir. Beləliklə, müstəvinin nöqtələr çoxluğu ilə $R\times R$ hasili arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq vardır.

2. Fəzada düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində hər bir nöqtə üç elementli $\left\langle x,y,z\right\rangle =(x,y,z)$ korteji vasitəsi ilə göstərilir. Beləliklə, fəzanın nöqtələri çoxluğu ilə $R\times R\times R$ hasili arasıda qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq vardır.

Mənbə: http://www.kitabyurdu.org/kitab/riyaziyyat/875-cebr-i-ii-iii-hisse.html