Çoxluqlar və onlar üzərində əməllər

Çoxluq dedikdə müəyyən əşyalar toplusu başa düşülür. Çoxluğun elementləri adlanan bu ünsürlər çox vaxt müəyyən ümumi keyfiyyətlərə malik olur. Məsələn, kitabda olan vərəqlər çoxluğu, hər hansı tənliyin kökləri çoxluğu və i. a. Çoxluq o zaman verilmiş hesab olunur ki, hər hansı elementin ona daxil olub-olmadığını müəyyən etmək mümkün olsun. Əgər çoxluğu əmələ gətirən elementlər sonlu sayda olarsa, belə çoxluq sonlu, əks halda isə sonsuz çoxluq adlanır. İki çoxluq yalnız və yalnız o zaman bərabər hesab olunur ki, onlar eyni elementlərdən ibarət olsunlar.

Çoxluq adətən böyük latın hərfləri ilə işarə edilir: və i. a. Çoxluğun elementləri isə kiçik latın hərfləri ilə ışarə olunur. Çoxluqlar öz elementləri ilə birqiymətli təyin olunur. Sonlu çoxluqlar bilavasitə elementlərin sadalanması yolu ilə verilə bilər. Bu elementlər fiqurlu mötərizə içərisində yazılır. Məsələn, yazılışı üç elementdən təşkil olunmuş çoxluğu göstərir. Bəzən sonsuz çoxluqları da elementlərin bir hissəsini sadalamaqla vermək mümkün olur. Bu o zaman edilir, elementlərin düzülüş sırasına əsasən və ya digər üsulla çoxluğun bütün elementləri müəyyən oluna bilsin. Məsələn, natural ədədlər çoxluğunu şəklində, tam ədədlər çoxluğunu isə şəklində göstərmək olar.

Çoxluqların verilmə üsullarından biri və geniş şəkildə işlənəni onların şərt vasitəsi ilə verilməsidir. Məsələn,

çoxluğu müstəvi üzərində koordinatları şərtini ödəyən nöqtələr çoxluğunu, yəni mərkəzi koordinat başlanğıcında olan vahid çevrəni göstərir. Ümumi halda şərtlə verilə çoxluq aşağıdakı yazılışa malik olur:

;

fiqurlu mötərizə içərisində şaquli xəttdən sağda predikatı yazılmışdır və çoxluğu bütün elə elementlərindən təşkil olunmuşdur ki, predikatı doğru olsun. Məsələn,

çoxluğu ancaq bir elementdən ibarətdir çünki, kvadrat tənliyin ancaq bir kökü vardır. elementinin çoxluğunun elementi olması belə yazılır: . yazılışı isə elementinin çoxluğuna daxil olmadığını işarə edir. Yuxarıda deyilənlərə əsasən, iki çoxluqlarının bərabərlik şərtini belə yaza bilərik:

.

Tərif 1. Əgər çoxluğunun hər bir elementi çoxluğunun da elementi olarsa, onda çoxluğu çoxluğunun alt çoxluğu adlanır və belə yazılır: .

Məsələn,  ; burada bütün natural ədədlər çoxluğunu göstərir.

Tərifə əsasən,

Aydındır ki,

.

Tərif 2. Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır və ilə işarə olunur.

Məsələn, tənliyinin həqiqi köklər çoxluğu boş çoxluqdur:. Tərifə əsasən, boş çoxluğu belə göstərə bilərik: .

Teorem 1. Boş çoxluq istənilən çoxluğun alt çoxluğudur və boş çoxluq yeganədir.

İsbatı. İxtiyari çoxluğu götürək və implikasiyasına baxaq. Bu implikasiyanın şərti yalandır. Deməli, o doğrudur. Beləliklə, mülahizəsi doğrudur. Onda (1) -ə əsasən .

Əgər iki boş çoxluq olarsa, yuxarıda isbat olunduğuna görə .

Deməli, . Teorem isbat olundu.

Çoxluqlar üzərində təyin olunan əsas əməllər aşağıdakılardır: çoxluqların birləşməsi , kəsişməsi və iki çoxluğun fərqi .

Tərif 3. çoxluqlarının birləşməsi yalnız və yalnız bu çoxluqlardan heç olmasa birinə daxil olan elementlərin əmələ gətirdiyi çoxluğa deyilir:

Misal. Tutaq ki, . Onda,

Tərif 4. çoxluqlarının kəsişməsi yalnız və yalnız bu çoxluqların hər ikisinə daxil olan elementlərin əmələ gətirdiyi çoxluğa deyilir:

Misal. Tutaq ki, . Onda, .

Tərif 5. çoxluqlarının fərqi yalnız və yalnız bu çoxluqlardan birincisinə daxil olan və ikincisinə isə daxil olmayan elementlərdən təşkil olunmuş çoxluğa deyilir:

Misal. Tutaq ki, . Onda, . Aydındır ki, . Doğrudan da, .

Çoxluqlar üzərində əməllərin xassələri aşağıdakı teoremlə ifadə olunur.

Teorem 2. İxtiyari çoxluqları üçün aşağıdakı münasibətlər doğrudur:

1) birləşmə və kəsişmənin idempotentliyi:  ;

2) birləşmə və kəsişmənin kommutativliyi: ;

3) birləşmə və kəsişmənin assosiativliyi:

4) birləşmənin kəsişməyə və kəsişmənin birləşməyə nəzərən distributivliyi:

5)


Mənbə: http://www.kitabyurdu.org/kitab/riyaziyyat/875-cebr-i-ii-iii-hisse.html