İnteqral – kəsilməz f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklinə f(x) funksiyasının inteqralı deyilir.
f(x)-in a dan b'yə qədər olan inteqralı, y=f(x) funksiyasının a ilə b arasındakı fiqurun sahәsinә bәrabәrdir.
İnteqral sahəsində ən böyük işləri Qotfrid Leybnits və İsaak Nyuton görmüşlər. "İnteqral" sözünü və işarəsini ilk dəfə elmə alman alimi Qotfrid Leybnits daxil etmişdir. Bu söz latıncadan "Cəm" ("ſumma", "summa") mənasını verir. İnteqral ∫ hərfi ilə işarə edilir:
F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
+
c
,
{\displaystyle F(x)=\int f(x)+c,}
[a, b] parçasında götürülmüş f(x) funksiyasının müəyyən inteqralın düsturu belədir:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}
Qeyri-müəyyən inteqralın isə düsturu belədir:
F
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
c
{\displaystyle F=\int f(x)\,dx+c}
İnteqral hesabına aid nümunə
redaktə
f
(
x
)
=
5
x
2
+
9
x
+
15
{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}
.
f
′
(
x
)
=
10
x
+
9
+
0
{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}
.
∫
(
10
x
+
9
)
d
x
=
5
x
2
+
9
x
+
C
{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C}
.
Bəsit funksiyaların inteqralları
redaktə
Rasional funksiyalar
redaktə
∫
d
x
=
x
+
C
{\displaystyle \int dx=x+C}
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+C}
∫
d
x
a
2
+
x
2
=
1
a
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\arctan {x \over a}+C}
İrrasional funksiyalar
redaktə
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C}
∫
−
d
x
a
2
−
x
2
=
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C}
∫
d
x
x
x
2
−
a
2
=
1
a
sec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle \int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec {|x| \over a}+C}
Loqarifmik funksiyalar
redaktə
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
,
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C,}
∫
log
b
x
d
x
=
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
{\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}
:)
Üstlü funksiyalar
redaktə
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
∫
a
l
n
(
x
)
d
x
=
∫
x
l
n
(
a
)
d
x
=
x
a
l
n
(
x
)
ln
a
+
1
+
C
=
x
x
l
n
(
a
)
ln
a
+
1
+
C
{\displaystyle \int a^{ln(x)}\,dx=\int x^{ln(a)}\,dx={\frac {x\,a^{ln(x)}}{\ln {a}+1}}+C={\frac {x\,x^{ln(a)}}{\ln {a}+1}}+C}
Triqonometrik funksiyalar
redaktə
Qotfrid Leybnits
Ser İsaak Nyuton
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sec
x
tan
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
csc
x
cot
x
d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}
∫
sin
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}
∫
sec
3
x
d
x
=
1
2
sec
x
tan
x
+
1
2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C}
∫
sin
n
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
∫
cos
n
x
d
x
=
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
∫
arctan
x
d
x
=
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
Hiperbolik funksiyalar
redaktə
∫
sinh
x
d
x
=
c
o
s
h
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh x\,dx=\,coshx+C}
∫
cosh
x
d
x
=
sinh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C}
∫
csch
x
d
x
=
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C}
∫
sech
2
x
d
x
=
tanh
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}^{2}x\,dx=\tanh x+C}
Tərs hiperbolik funksiyalar
redaktə
∫
arcsinh
x
d
x
=
x
arcsinh
x
−
x
2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} x\,dx=x\operatorname {arcsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arccosh
x
d
x
=
x
arccosh
x
−
x
2
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccosh} x\,dx=x\operatorname {arccosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
∫
arctanh
x
d
x
=
x
arctanh
x
+
1
2
log
(
1
−
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arctanh} x\,dx=x\operatorname {arctanh} x+{\frac {1}{2}}\log {(1-x^{2})}+C}
∫
arccsch
x
d
x
=
x
arccsch
x
+
log
[
x
(
1
+
1
x
2
+
1
)
]
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\operatorname {arccsch} x+\log {\left[x\left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+1\right)\right]}+C}
∫
arcsech
x
d
x
=
x
arcsech
x
−
arctan
(
x
x
−
1
1
−
x
1
+
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\operatorname {arcsech} x-\arctan {\left({\frac {x}{x-1}}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)}+C}
∫
arccoth
x
d
x
=
x
arccoth
x
+
1
2
log
(
x
2
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\operatorname {arccoth} x+{\frac {1}{2}}\log {(x^{2}-1)}+C}
Xarici keçidlər
redaktə