Şrödinger tənliyi

Şrödinger tənliyi — kvant-mexaniki sistemləri təsvir edən xüsusi törəməli xətti diferensial tənlik; kvant mexanikasının fundamental tənliyi.[1] Bu tənlik kvant mexanikasının inkişafında başlıca dönüş nöqtəsi yaratmışdır. Tənlik Ervin Şrödingerin adını daşıyır. Şrödinger bu tənliyi 1925-ci ildə irəli sürmüş, 1926-cı ildə nəşr etdirmiş, 1933-cü ildə isə bu işinə görə Fizika üzrə Nobel Mükafatı almışdır.[2][3]

Varşava Yeni Texnologiyalar Universitetinin qarşısında Şrödinger tənliyi (Oxota kampusu) (yuxarı sağda)

Konseptual olaraq Şrödinger tənliyi klassik mexanikadakı Nyutonun ikinci qanununun kvant qarşılığıdır. Bir sıra məlum başlanğıc şərtləri nəzərə aldıqda, Nyutonun ikinci qanunu müəyyən bir fiziki sistemin zamanla hansı yolu keçəcəyinə dair riyazi proqnoz verir. Şrödinger tənliyi dalğa funksiyasının zamana görə evolyusiyasını, təcrid olunmuş fiziki sistemin kvant-mexaniki xarakteristikasını ifadə edir. Tənlik zaman-evolyusiya operatorunun unitarlığı şərtindən çıxarıla bilər və buna görə də kvant Hamiltonianı olan özü-özünə qoşma operatorun üstlü qiymətiylə əldə olunmalıdır.

Şrödinger tənliyi kvant-mexaniki sistemləri öyrənmək və proqnozlar vermək üçün yeganə yol deyil. Kvant mexanikasının digər formulyasiyalarına Verner Heyzenberq tərəfindən irəli sürülən matris mexanikası və əsası Riçard Feynman tərəfindən hazırlanmış trayektoriya inteqral formulyasiyası daxildir. Pol Dirak matris mexanikasını və Şrödinger tənliyini vahid bir formada birləşdirmişdir. Bu yanaşmaları nəzərə aldıqda, Şrödinger tənliyinə əsaslanan mexanikaya bəzən "dalğa mexanikası" da deyilir.

TərifRedaktə

ÖnhazırlıqRedaktə

 
Qeyri-relativistik Şrödinger tənliyinin V=0 üçün uyğun olan dalğa funksiyasının kompleks qrafiki. Başqa sözlə, bu, boş fəzada sərbəst hərəkət edən hissəciyə uyğundur.

Fizika və ya kimyanın giriş kurslarında, adətən, Şrödinger tənliyini elə verirlər ki, yalnız diferensial hesabının əsas anlayışxassələrini, xüsusən də fəza və zamana aid törəmələri bilərək hesablamalar aparmaq mümkün olsun. Bütün bu deyilənləri özündə əks etdirən Şrödinger tənliyinin xüsusi halı, tək qeyri-relyativist hissəcik üçün birölçülü mövqe-fəza Şrödinger tənliyidir:

 

Burada,   dalğa funksiyası olub, hər bir   nöqtəsinə   anında müəyyən bir kompleks ədədi qarşı qoyur.   parametri hissəciyin kütləsi,   isə hissəciyin yerləşdiyi mühiti xarakterizə edən potensial,   xəyali vahid,   isə gətirilmiş Plank sabitidir.

 
Bu üç cərgənin hər biri harmonik ossilyator üçün zamandan asılı olan Şrödinger tənliyinə uyğun gələn dalğa funksiyasıdır. Sol: Dalğa funksiyasının həqiqi hissəsi (mavi) və xəyali hissəsi (qırmızı). Sağ: Verilmiş mövqedə bu dalğa funksiyası ilə hissəciyi tapma ehtimalının paylanması. Üst iki sıra durğun dalğalara uyğun gələn stasionar vəziyyətlərə nümunədir. Aşağı cərgə stasionar olmayan vəziyyətə nümunədir. Sağ sütun stasionar vəziyyətlərin niyə "stasionar" adlandırıldığını göstərir.

Bu sadə vəziyyətin önünə keçməklə kvant mexanikasının Pol Dirak[4], David Hilbert[5], Con fon Neyman[6]Herman Veyl[7] tərəfindən tərtib edilmiş ciddi riyazi forması kvant-mexaniki sistemin halını   Hilbert fəzasının   vektoruyla ifadə edir. Bu vektorun Hilbert fəzasının skalyar hasili altında normallaşdırıldığı fərz edilir, yəni o Dirak notasiyasına tabe olur  . Hilbert fəzasının təbiəti sistemdən asılıdır - məsələn, mövqe və impulsu təsvir etmək üçün Hilbert fəzası   kompleks kvadratik inteqrallanan funksiyalar fəzası, tək protonun spini üçün isə sadəcə olaraq   ikiölçülü kompleks vektorlar fəzasıdır.

Maraqlanılan fiziki kəmiyyətlər — mövqe, impuls, enerji, spin — Hilbert fəzasına təsir edən Ermit (daha dəqiq, özü-özünə qoşma) xətti operatorlar olan "müşahidəolunanlar" ilə təmsil olunur. Dalğa funksiyası müşahidəolunabilənin məxsusi vektoru ola bilər, bu halda o, məxsusi hal adlanır və əlaqəli xüsusi qiymət həmin məxsusi halda müşahidəolunanın qiymətinə uyğun gəlir. Daha ümumi şəkildə, kvant halı kvant superpozisiyası kimi tanınan məxsusi halların xətti kombinasiyası olacaqdır. Müşahidəolunabilən ölçüldükdə, nəticə Born qaydası ilə verilmiş ehtimalla onun məxsusi qiymətlərindən biri olacaq: ən sadə halda məxsusi qiymət   cırlaşmayandır və  ehtimalıyla verilir. Burada   rabitəli məxsusi vektordur. Daha ümumi şəkildə, məxsusi qiymət cırlaşandır və   ehtimalı ilə verilir. Burada   rabitəli məxsusi fəza üzrə proyektordur.

İmpulsun məxsusi halı kvadratik inteqrallanmayan, sonsuz dərəcədə mükəmməl monoxromatik dalğa olacaqdır. Eynilə, mövqenin məxsusi halı Dirak delta paylanması olacaq, o kvadratik inteqrallanmır və texniki cəhətdən ümumiyyətlə funksiya deyil. Nəticə etibarilə, heç biri hissəciyin Hilbert fəzasına aid ola bilməz. Fiziklər bəzən bu fəzanın xaricindəki elementlərdən ibarət Hilbert fəzası üçün həqiqi olmayan “əsaslar” irəli sürürlər. Bunlar hesablama rahatlığı üçün icad edilmişdir və fiziki halları təmsil etmir.[8] Beləliklə, mövqe-fəza dalğa funksiyası   yuxarıda istifadə edildiyi kimi, zamandan asılı   hal vektorunun qeyri-fiziki lakin əlverişli olan "mövqenin məxsusi halları"   ilə skalyar hasili kimi yazıla bilər

 

Zamandan asılı tənlikRedaktə

Şrödinger tənliyinin forması fiziki şəraitdən asılıdır. Ən ümumi forma zamandan asılı Şrödinger tənliyidir. O zamana görə dəyişən sistemi təsvir edir:[9]

Burada,   zaman,   kvant sisteminin hal vektoru (  yunan hərfi psidir),   Hamilton operatorudur.

"Şrödinger tənliyi" ifadəsi həm ümumi tənliyi, həm də onun xüsusi qeyri-relyativist versiyanı ifadə edə bilər. Ümumi tənlik həqiqətən də olduqca ümumidir, Dirak tənliyindən tutmuş kvant sahə nəzəriyyəsinə qədər hər şey üçün kvant mexanikasında Hamiltonian üçün müxtəlif ifadələr birləşdirərək istifadə olunur. Xüsusi qeyri-relativist versiya bir çox hallarda, ancaq müəyyən dərəcəyə qədər dəqiq nəticələr verən yaxınlaşmadır.

Şrödinger tənliyini tətbiq etmək üçün sistemi təşkil edən hissəciklərin kinetik və potensial enerjilərini nəzərə alaraq sistem üçün Hamiltonian yazılır, sonra o Şrödinger tənliyinə daxil edilir. Alınan xüsusi törəməli diferensial tənlik sistem haqqında məlumatı ehtiva edən dalğa funksiyası üçün həll edilir. Praktikada ehtimal sıxlığı funksiyasını təyin etmək üçün hər bir nöqtədə dalğa funksiyasının mütləq qiymətinin kvadratı götürülür. Məsələn, yuxarıdakı kimi mövqe fəzasında   dalğa funksiyası verilmişdirsə,

 

Zamandan asılı olmayan tənlikRedaktə

Yuxarıda təsvir edilən zamandan asılı Şrödinger tənliyi dalğa funksiyalarının stasionar hallar adlanan durğun dalğalar əmələ gətirə biləcəyini xəbər verir. Bu hallar xüsusilə vacibdir, çünki onların ayrıca tədqiqi sonradan istənilən vəziyyət üçün zamandan asılı Şrödinger tənliyinin həll olunması məsələsini asanlaşdırır. Stasionar hallar Şrödinger tənliyinin daha sadə forması, zamandan asılı olmayan Şrödinger tənliyi ilə də təsvir edilə bilər.

 

burada   sistemin enerjisidir. Bu, yalnız Hamiltonian özü zamandan aşkar şəkildə asılı olmadıqda istifadə olunur. Bununla belə, hətta bu halda ümumi dalğa funksiyası aşağıda xəttilik bölməsində izah edildiyi kimi zamandan asılıdır. Xətti cəbrin diliylə desək, bu tənlik məxsusi qiymətli tənlikdir. Buna görə də, dalğa funksiyası Hamilton operatorunun müvafiq məxsusi qiymət(lər)i olan məxsusi funksiyasıdır.

XassələrRedaktə

XəttilikRedaktə

Şrödinger tənliyi xətti diferensial tənlikdir, yəni iki hal vektoru    həllərdirsə, onda hər hansı bir xətti kombinasiya da tənliyin həlli olar:

 

burada ab ixtiyari kompleks ədədlərdir.[10] Üstəlik, bu cəmi istənilən sayda hal vektoru üçün genişləndirmək olar. Bu xassə kvant hallarının superpozisiyalarının Şrödinger tənliyinin həlli olmasına imkan verir. Daha ümumi şəkildə desək, Şrödinger tənliyinin ümumi həllini hallar əsasında cəmləmə aparmaqla tapmaq olar. Tez-tez istifadə olunan seçim zamandan asılı olmayan Şrödinger tənliyinin həlləri olan məxsusi enerji hallarının əsasıdır. Bu əsasda zamandan asılı hal vektoru   xətti kombinasiya kimi yazıla bilər

 

burada    uyğun olaraq kompleks ədədlər və vektorlar olub, zamandan asılı olmayan   tənliyinin həlləridir.

UnitarlıqRedaktə

  Hamilton operatoru sabit olduqda Şrödinger tənliyinin həlli var.[9]

 

  zaman-evolyusiya operatoru adlanan unitar operatordur, yəni Hilbert fəzasında vektorlararası skalyar hasili qoruyur.[10] Unitarlıq Şrödinger tənliyi üzrə zaman-evolyusiyanın ümumi xassəsidir. İlkin hal isə   kimidir. Bu hal   müddətindən sonra belə olar:

 

bəzi unitar   operatorları üçün. Əksinə, fərz edək ki,     vasitəsilə parametrləşdirilmiş vahid operatorların kəsilməz ailəsidir.[11] Ümumiliyi pozmadan parametrləşdirmə elə seçilə bilər ki,   hər hansı   istənilən   üçün identifikasiya operatoru olsun. Bu zaman   operatorunun   parametrindən asılılığı aşağıdakı kimi olar

 

bəzən özü-özünə qoşma   operatoruna   ailəsinin generatoru deyilir. Hamiltonian məhz belə bir generatordur (təbii vahidlərdə 1-ə bərabər olan Plank sabitinə qədər).

Əsasın dəyişməsiRedaktə

Şrödinger tənliyi tez-tez mövqe funksiyaları kimi dəyişən kəmiyyətlərdən istifadə etməklə verilir, lakin vektor-operator tənliyi kimi Hilbert fəzasında ketlərin istənilən ixtiyari tam bazasında etibarlı təmsilə malikdir. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, fiziki Hilbert fəzasından kənarda yerləşən "əsaslar" da hesablama məqsədləri üçün istifadə olunur. Bu, qeyri-relyativistik, spinsiz hissəcik üçün mövqe-fəza və impuls-fəza Şrödinger tənlikləri ilə təsvir edilmişdir.[8]  Belə bir hissəcik üçün Hilbert fəzası üçölçülü Evklid fəzasında kompleks kvadratik inteqrallanan funksiyalar fəzasıdır və onun Hamiltonianı impuls operatorunda kvadratik olan kinetik və potensial enerji hədlərinin cəmidir.

 

Üçölçülü   fəza və   impuls vektorları üçün mövqe-fəza Şrödinger tənliyi aşağıdakı kimi yazılır

 

İmpuls-fəza qarşılığı dalğa funksiyasının və potensialın Furye çevrilmələrini əhatə edir:

 

   funksiyaları   funksiyasından aşağıdakıların köməyilə alınır

 

 

burada    Hilbert fəzasının özünə aid deyildir, lakin bu fəzanın bütün elementləri ilə dəqiq müəyyən edilmiş skalyar hasillərə malikdirlər. Mövqe-fəza tənliyi üç ölçüdən bir ölçüyə doğru məhdudlaşdırıldıqda, mövqe-fəza tənliyi yuxarıda verilmiş Şrödinger tənliyinin yalnız birinci formasıdır. Kvant mexanikasında mövqe və impuls arasındakı əlaqə bir ölçüdə qiymətləndirilə bilər. Kanonik kvantlamada klassik dəyişənlər    kanonik kommutasiya əlaqəsini təmin edən    özü-özünə qoşma operatorlara yüksəldilir

 

Bu o deməkdir ki,

 

ona görə də mövqe-fəza təsvirində   impuls operatorunun təsiri belədir:  . Beləliklə   ikitərtibli törəmə olur və üç ölçüdə ikitərtibli törəmə   Laplasian olur.

Kanonik kommutasiya əlaqəsi həm də mövqe və impuls operatorlarının bir-birinin Furye qoşmaları olduğunu nəzərdə tutur. Nəticə etibarilə, ilkin olaraq mövqedən asılılıq baxımından müəyyən edilmiş funksiyalar Furye çevrilməsindən istifadə edərək impuls funksiyalarına çevrilə bilər. Bərk cisim fizikasında Şrödinger tənliyi tez-tez impuls funksiyaları üçün yazılır, çünki Blox teoremi periodik kristal qəfəsin potensial cütlərini təmin etdiyindən,   ilə   yalnız diskret qarşılıqlı qəfəs vektorları   üçün yazılır. Bu Briluen zonasındakı digər nöqtələrdən asılı olmayaraq Briluen zonasının hər bir nöqtəsində impuls-fəza Şrödinger tənliyini həll etməyi asanlaşdırır.

Ehtimal cərəyanıRedaktə

Şrödinger tənliyi yerli ehtimalın saxlanmasına uyğundur.[8] Sağdakı Şrödinger tənliyini kompleks qoşma dalğa funksiyasına vurmaq və dalğa funksiyasını Şrödinger tənliyinin kompleks qoşmasının soluna vurub çıxmaqla ehtimal üçün kəsilməzlik tənliyini almaq olar:

 

burada

 

ehtimal sıxlığı (vahid həcmə düşən ehtimal, * kompleks qoşmanı bildirir),

 

isə ehtimal cərəyanıdır (vahid səthə düşən cərəyandır).

Dəyişənlərə ayrılmaRedaktə

Əgər Hamiltonian zamanın aşkar funksiyası deyilsə, tənlik fəza və zamana aid hissələrin hasili kimi vuruqlara ayrıla bilər. Tənliyi dəyişənlərə ayırma yolu ilə həll etmək, aşağıdakı formanın həllini axtarmaq deməkdir

 

burada   yalnız sistemi təşkil edən hissəcik(lər)in bütün fəza koordinat(lar)ının,   isə yalnız zamanın funksiyasıdır. Bu ifadəni   funksiyasının yerinə yazsaq

 

Bu tip bir həll stasionar adlanır, çünki zamandan asılı olan yeganə şey Born qaydası ilə ehtimal sıxlığı hesablandıqda ləğv edən bir faza amilidir.[9]

Bu, istənilən sayda ölçülər (zamandan asılı olmayan potensialda) istənilən sayda hissəcik üçün ümumiləşdirilir: zamandan asılı tənliyin durğun dalğa həlləri müxtəlif enerjilərin ehtimal paylanması əvəzinə müəyyən enerjiyə malik vəziyyətlərdir. Fizikada bu durğun dalğalar "stasionar vəziyyətlər" və ya "enerji məxsusi halları" adlanır; kimyada onlara "atom orbitalları" və ya "molekul orbitalları" deyilir. Enerjinin məxsusi hallarının superpozisiyaları enerji səviyyələri arasındakı nisbi fazalara uyğun olaraq xassələrini dəyişir. Enerjinin məxsusi halları əsas təşkil edir: hər hansı bir dalğa funksiyası diskret enerji vəziyyətləri üzərində cəmi və ya kəsilməz enerji vəziyyətləri üzərində inteqral və ya daha ümumi olaraq ölçü üzərində inteqral kimi yazıla bilər. Bu, riyaziyyatda spektral teoremdir və sonlu ölçülü vəziyyət fəzasında bu, sadəcə olaraq Ermit matrisinin məxsusi vektorlarının tamlığının ifadəsidir.

Dəyişənlərin ayrılması zamandan asılı olmayan Şrödinger tənliyi üçün də səmərəli bir üsul ola bilər. Məsələn, problemin simmetriyasından asılı olaraq, Dekart oxları üzrə

 

şəklində və ya sferik koordinatlar üzrə aşağıdakı kimi ayrıla bilər:

 

İstinadlarRedaktə

  1. Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8.
  2. "Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work". The Guardian.
  3. Schrödinger, E. (1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (PDF). Physical Review. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049.
  4. Dirac, Paul Adrien Maurice (1930). The Principles of Quantum Mechanics. Oxford: Clarendon Press.
  5. von Neumann, John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer. English translation: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Translated by Beyer, Robert T. Princeton University Press. 1955.
  6. Hilbert, David (2009). Sauer, Tilman; Majer, Ulrich (eds.). Lectures on the Foundations of Physics 1915–1927: Relativity, Quantum Theory and Epistemology. Springer. doi:10.1007/b12915. ISBN 978-3-540-20606-4. OCLC 463777694.
  7. Weyl, Hermann (1950) [1931]. The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Translated by Robertson, H. P. Dover. ISBN 978-0-486-60269-1. Translated from the German Gruppentheorie und Quantenmechanik (2nd ed.). S. Hirzel Verlag. 1931.
  8. 1 2 3 Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2005). Quantum Mechanics. Translated by Hemley, Susan Reid; Ostrowsky, Nicole; Ostrowsky, Dan. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-16433-X.
  9. 1 2 3 Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Kluwer Academic/Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.
  10. 1 2 Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (4 March 2011). Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
  11. Yaffe, Laurence G. (2015). "Chapter 6: Symmetries" (PDF). Physics 226: Particles and Symmetries.