Şvars prinsipi

Fərz edək ki, $\sigma$ oblastı konturu üzərində düzgün $\gamma$ analitik xətti saxlayır.

Teorem

$\sigma$ oblastında analitik və $\gamma$ üzrə sərhəd qiymətləri analitik funksiya olan $f(z)$ funksiyasını $\gamma$ xəttindən analitik davam etdirmək olar. $f(z)$ -in $\gamma$ üzrə qiymətləri $z\rightarrow t$ olduqda $f(z)$ -in $f(t)$ limit qiyməti başa düşülür.

İsbatı

Əvvəlcə teormi xüsusi hal üçün isbat edək. Fərz edək ki, $\gamma$ həqiqi oxun $[a,b]$ parçasıdır. Onda $\gamma$ -nın tənliyi

{\begin{cases}x=t&\\y=0&\end{cases}}

\alpha \leq t\leq \beta

olar. Şərtə görə $f(t)$ funksiyası $[a,b]$ üzərində analitik olduğundan bu parçanın $x_{o}$ nöqtəsi ətrafında

f(t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{k}(t-x_{0})^{k}

olar. Burada $t$ evazine kompleks $z$ dəyişənini yazsaq

\varphi (z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }C_{k}(z-x_{0})^{k}

funksiyasrı $x=x_{o}$ nöqtasinin müəyyən ətratında analitik funksiya olar.

\omega (z)=\varphi (z)-f(z)

ile işarə edək. Aydındır ki, $\omega _{x_{0}},\sigma _{x_{0}}$ oblastında analitik funksiya olmaqla $\gamma _{x_{0}}$ üzrə

\lim \limits _{z\rightarrow t}\omega (z)=\lim \limits _{z\rightarrow t}\varphi (z)-\lim \limits _{z\rightarrow t}f(z)

\omega (t)=f(t)-f(t)=0

olur. $\gamma _{x_{0}}$ üzrə $\omega (t)=o$ olduğundan Şvarsın simmetriya prinsipinə görə $\omega (z)$ -i $\gamma$ xəttindən analtik davam etdirmək olar, Beləliklə, göstərmiş oluruq ki, $\omega (z)$ funksiyası mərkəzi $x_{0}$ olan və $\gamma _{x_{0}}$ parçası öz daxilinə alan müəyyən bir $\sigma _{x_{0}}$ ətrafında analitik olmaqla $\gamma _{x_{0}}$ üzrə sıfra çevrilir. Onda analitik funksiyaların yeganəlik teoreminə görə həmin ətrafda $\omega (z)\equiv o$ və yaxud da

\varphi (z)=f(z)

olar. Başqa sözlə, $f(z)$ funksiyasını $\gamma _{x_{0}}$ xəttindən analitik davam etdirmsk olar. $x_{0}$ nöqtəsi $[\alpha ,\beta ]$ parçasının ixtiyari nöqtəsi olduğundan $f(z)$ -i $\gamma$ xəttindən analitik davam etdirmək olar. Bu üsuldan göründüyü kimi $\varphi (z)$ funksiyası $f(z)$ -in analitik davamıdır.

İndi ümumi halı tədqiq edək. Fərz edək ki, $z=z(t)$ $(\alpha \leq t\leq \beta )$ düzgün $\gamma$ analitik xəttinin tənliyidir. Şərtə görə $f(z)$ , $\gamma$ üzrə analitik funksiya olduğundan

\Phi (t)=f[z(t)]

funksiyasını hər hansı $t=t_{0}$ nöqtəsi ətrafında sıraya ayırmaq olar:

\Phi (t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\beta _{k}(t-t_{0})^{k}.

Şərtə görə $z^{\prime }(t_{0})\neq 0$ olduğundan $t=t_{0}$ -ın elə $\delta _{t_{0}}^{\prime }$ ətrafını tapmaq olar ki, həmin ətraf

z=z(t)

funksiyası vasitəsilə ilə mərkəzi $\gamma$ üzərində olan $\delta _{t_{0}}^{\prime }$ ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olunsun. $\Phi (t)$ mərkəzi $t_{0}$ nöqtəsində olan müəyyən $K_{t_{0}}$ parçasında analitik funksiya olduğundan bundan əvvəlki hala görə həmin funksiyanı $K_{t_{0}}$ parçasından analitik davam etdirmək olar. Bu funksiyanın aralitik davamını $\Phi _{0}(t)$ ilə işarə edək. $z=z(t)$ funksiyası vasitəsilə $\delta _{t_{0}}$ -ın $\delta _{t_{0}}^{\prime }$ ətrafı $\delta _{t_{0}}$ ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olduğundan $t$ -in istənilən ətrafında

z^{\prime }(t)\neq 0

olar. Ona görə də $t=p(z)$ -i $z=z(t)$ -nin tərs funksiyasə kimi təyin etmək olar. Onda

\varphi _{1}(z)=\Phi _{0}[p(z)]

funksiyası $z$ nöqtəsini daxilinə alan və $\gamma$ -nın hissəsi olan müəyyən bir $\gamma _{z_{0}}$ qövsündən $f(z)$ -in analitik davamı olar. $z_{0},\gamma$ qövsünün ixtiyari nöqtəsi olduğundan aydındır ki, $f(z)$ -i $\gamma$ xəttindan analtik davam etdirmək olar. Bununla da analitik davam üçün Şvars teoremi tamamilə isbat olunur.