0.(9)

0.999... (həmçinin 0.9, 0.(9) kimi yazılır) — Riyaziyyatda onluq nöqtədən sonra yazılan sonsuz sayda 9 rəqəmindən ibarət olan rasional ədəd. 0.999... ədədi 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ədədlərin hamısından böyükdür. Bu ədəd 1-ə bərabər olaraq göstərilə bilər. Başqa sözlə "0.999 ..." və "1" eyni ədədi təmsil edir. Bu bərabərliyin riyazi olaraq sübuta yetirilməsinin bir çox yolu var.

Onluq kəsrdə 9 rəqəmi sonsuza kimi təkrarlanır.

Cəbri isbatlar

Dövri kəsrlərdən

Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq ədədlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

${\frac {5}{9}}=0,(5)$

${\frac {1}{3}}=0,(3)$ kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

${\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}$

$1=0,(9)$ bərabərliyini alarıq.

Dörd əməliyyatdan

$0.(9)$ ədədini riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən $x$ ilə əvəzləyək.

$x=0,(9)$

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

$10x=9,(9)$

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni $x$-i çıxaq.

$9x=10x-x=9,(9)-0,(9)=9$

Sadələşdirək.

$x=1$

Limitdən

Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

$0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)$

$n$ sonsuza yaxınlaşarkən ${\frac {1}{10^{n}}}$ ifadəsi $0$-a bərabərdir. Buradan alınır ki;

$=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,$ dir.

Sonsuz ardıcıllıqlardan

Teorem:$|r|<1$ və $a$ sabit ədəddir və $ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}$-dir.

Ümumi termini $r=\textstyle {\frac {1}{10}}$ və sabit ədədi $9$ olan ardıcıllıq $0.(9)$-dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək

$0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1$ olduğunu görə bilərik.