Ellipsoid

Ellipsoid — Fəzada verilmiş hər hansı $R$ ortonormal reperinə nəzərən koordinatları

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

(1) tənliyini ödəyən fəzanın bütün nöqtələri çoxluğunun həndəsi yeri. (1) tənliyinə ellipsoidin kanonik tənliyi deyilir. Ellipsoidin kanonik tənliyindəki $a$, $b$ və $c$ ədədləri müsbət həqiqi ədədlərdir. $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri (1) tənliyinə kvadratlarla daxil olduğundan ellipsoid ikitərtibli səthdir. Belə ki, səthin ikitərtibli olması üçün onun tənliyini ifadə edən çoxhədlinin dərəcəsi 2 olmalıdır. Burada isə (1) tənliyinin sol tərəfindəki ifadə ikidərəcəlidir. (1) tənliyində $a$, $b$ və $c$ ədədləri cüt-cüt fərqli olarsa, (1) tənliyinə malik ellipsoidə üçoxlu ellipsoid deyilir. Ellipsoid ellipsin öz oxlarından biri ətrafında fırlanmasından da alına bilər ki, bu zaman həmin ellipsoidə fırlanma ellipsoidi deyilir. Fırlanma ellipsoidinin $R$ ortonormal reperinə nəzərən kanonik tənliyi

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

tənliyidir.

Aşağıdakı şəkildə (1) tənliyinə daxil olan $a$, $b$ və $c$ ədədlərinin müxtəlif olduğu, 3-ü və ya 2-sinin bərabər olduğu hallarda ellipsoidin əyani təsviri verilmişdir.

(1) tənliyi ilə təyin olunan ellipsoidlər. ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1:$
sfera (a=b=c),
sferoid (a=b, c),
ellipsoid (a, b və c ədədləri cüt-cüt fərqli olduqda)

Əgər ellipsi böyük oxu ətrafında fırlatsaq, onda yumurtavari fiqur alınar. Əgər ellipsi kiçik oxu ərtafında fırlatsaq, onda yastılaşdırılmış sfera alınar. Yer kürəsi ellipsoid formasındadır. Yer kürəsinin qütbləri arasındakı məsafə (12714 km) onun ekvatorunun diametrinden (12756 km) kiçikdir.

Əgər fırlanma ellipsoidini ellipsin oxlarından keçən müstəviyə sıxsaq, onda üçoxlu ellipsoidi alarıq. Tənliyi isə yuxarıda göstərilmişdir.

Əgər ədədlərindən hər hansı ikisi bərabər olarsa, onda yuxarıdakı (1) tənliyi fırlanma ellipsoidini təsvir edir. Əgər (1) tənliyində $a$=$b$=$c$ olarsa, onda həmin tənlik sferanı təsvir edir.

Əgər ellipsoid absis oxu $(ox)$, ordinat oxu $(oy)$ və aplikat oxu $(oz)$ olan düzbucaqlı dekart koordinat sistemində verilmişdirsə, onda həmin ellipsoidin $(ox)$ oxu ilə kəsişmə nöqtələri $A(a,0,0)$ və $A'(-a,0,0)$, $(oy)$ oxu ilə kəsişmə nöqtələri $B(0,b,0)$ və $B'(0,-b,0)$, $(oz)$ oxu ilə kəsişmə nöqtələri isə $C(0,0,c)$ və $C'(0,0,-c)$ olar. $A$, $A'$, $B$, $B'$, $C$ və $C'$ nöqtələrinə ellipsoidin təpə nöqtələri, $[AA']$, $[BB']$, $[CC']$ parçalarına ellipsoidin oxları, həmin oxların kəsişmə nöqtəsinə isə ellipsoidin mərkəzi deyilir (onu da qeyd edək ki, (1) kanonik tənliyinə daxil olan $a$, $b$ və $c$ ədədlərinə ellipsoidin yarımoxlarının uzunluqları deyilir). $x$, $y$ və $z$ dəyişənləri ellipsoidin (1) tənliyinə kvadratlarla daxil olduğundan, əgər hər hansı cari $M(x,y,z)$ nöqtəsi ellipsoidin (1) tənliyini ödəyirsə (başqa sözlə desək, $M(x,y,z)$ nöqtəsi ellipsoidə aiddirsə), onda $M$ nöqtəsi ilə koordinat oxları, koordinat müstəviləri və koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olan nöqtələr də bu tənliyi ödəyəcəklər (başqa sözlə desək, ellipsoidə aid olacaqlar). Deməli, ellipsoid koordinat oxlarına, koordinat müstəvilərinə və koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Üçoxlu ellipsoid üçün də analoji olaraq deyə bilərik ki, üçoxlu ellipsoidin istənilən oxunu saxlayan düz xətt onun simmetriya oxudur. Üçoxlu ellipsoidin ixtiyari iki oxundan keçən müstəvi onun simmetriya müstəvisidir. Üçoxlu ellipsoidin oxlarının kəsişmə nöqtəsi onun simmetriya mərkəzidir. Beləliklə, üçoxlu ellipsoidin üç simmetriya müstəvisi, üç simmetriya oxu, bir simmetriya mərkəzi var.

Ədəbiyyat

• M. Mərdanov, S. Mirzəyev, Ş. Sadıqov Məktəblinin riyaziyyatdan izahlı lüğəti. Bakı 2016, "Radius nəşriyyatı", 296 səh.
• Azərbaycan Sovet Ensiklopediyası. I–X cild, Bakı 1976–1987.
• X. Paşayev, M. Nəcəfov, Analitik həndəsədən mühazirələr. Bakı-2002.

İstinadlar

• İngiliscə vikipediya; https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid