Ortaq bölən və ən böyük ortaq bölən.Redaktə

TƏRİF.   tam ədədlərinin hər birinin eyni zamanda bölündüyü   ədədinə bu ədədlərin ortaq böləni deyilir.


Məsələn, 60, 25, 45 ədədləri üçün 5 ədədi ortaq böləndir.


TƏRİF.Verilən   ədədlərinin ortaq bölənləri içərisindən ən böyüyünə bu ədədlərin ən böyük ortaq böləni (ƏBOB) deyib, onu ( ) kimi işarə edirlər.


ƏBOB-u   ilə   işarə edək. Xüsusi halda iki    ədədləri üçün: ƏBOB  


Bu təriflərdən nəticə kimi alına bilən aşağıdakı iki teoremi isbat edək.


TEOREM 1.Verilən    ədədlərindən   isə, onda bunların bütün ortaq bölənləri   ədədinin bölənlərindən ibarət olur və xüsusi halda   olur.

İSBATI.Aşkardır ki,   -nin ortaq bölənləri eyni zamanda hər ikisinin, o cümlədən,  -nin ortaq bölənləridir.Digər tərəfdən   olduğundan  -nin hər bir böləni eyni zamanda  -nın da böləni olmalıdır. Bu isə o deməkdir ki,   -nin ortaq bölənlər çoxluğu   ədədinin bölənləri çoxluğu ilə üst-üstə düşür.   ədədinin ən böyük böləni özü olduğundan   olur. Teorem isbat olundu.


TEOREM 2.   münasibətində olan    ədədlərinin ortaq böləni   -nin ortaq bölənləri ilə eynidir və xüsusi halda  .

İSBATI.  və yaxud buradan alınan  ,   bərabərlikləri göstərir ki,   -nin hər bir ortaq böləni eyni zamanda  -nin ortaq bölənləri olur; tərsinə,   ilə  -nin istənilən ortaq bölənləri   - nın da bölənləridir və deməli,   -nin ortaq bölənləri olurlar.Beləliklə alırıq ki,   -nin ortaq bölənləri eyni zamanda   ilə  -nin ortaq bölənləridir.ƏBOB da bu ortaq bölənlər içərisində olduğu üçün   olur.

Teorem isbat olunur.

Evklid alqoritmiRedaktə

Müasir riyaziyyatda ən böyük ortaq bölənin bir çox cəhətdən daha əhəmiyyətli olan aşağıdakı tərifi də var.

TƏRİF 2.  ədədlərinin ortaq bölənləri içərisində eləsinə ƏBOB deyirlər ki, o, digər ortaq bölənlərin hamisina bölünsün. Başqa sözlə,   ədədinin verilən ədədlərin ƏBOB-u olması üçün iki şərt ödənməlidir:

  ədədi   ədədlərinin ortaq bölənidir;   ədədi   ədədlərinin ixtiyari bir   ortaq böləninə bölünür:  

Məsələn    ədədlərinin ortaq bölənləri  ,  ,  ,   ədədləridir. Burada ƏBOB  ; göründüyü kimi,  ,  ,  . Sonuncu 2-ci tərifin üstünlüyü ondadır ki, ƏBOB anlayışını asanlıqla geniş riyazi obyektler çoxlugu üçün ümumiləşdirməyə imkan verir. Tərif 2-dən belə bir aşkar nəticə çıxır ki,    ədədlərinin bütün ortaq bölənlər çoxluğu, bunların ƏBOB-nun (yəni   ədədinin) bölənlər çoxlugu ilə üst-üstə düşür. İki    ədədlərinin ƏBOB-nu tapmaq üçün istifadə edilən səmərəli üsullardan biri antik dövrün böyük riyaziyyatçısı Evklidin adı ilə bağlı olan "Evklid" alqorifmidir. Evklid alqorifmi verilən    ədədlərinə qalıqlı bölmə alqorifmini və buradan qismət və qalıqlara ardıcıl tətbiq etməkdir. Belə ki, verilən    ədədləri üçün   şərtilə  ,  ; sonra   üçün  ,  ,  ; sonra   üçün  ,  ; sonra   üçün və s. Bu proses qalıq sıfra bərabər olanda qurtarır və aşağıdakı bərabərliklər sistemi alınır:


 :  ,  ,

 :  ,  ,

 :  ,  ,

 :  ,  ,

.........................................................

 :  ,  ,

 :  ,  ,

 :  ,  ,

 :  .


  bərabərliklərini Evklid bərabərliklər sistemi adlandırırlar.

Əgər   olardısa onda  -ni  -ya bölməklə başlayıb   bərabərliklərində   ilə  -nın yerini dəyişərdik.

İndi aşağıdakı teoremi isbat edək.

TEOREM.    ədələrinin ƏBOB-u   bərabərliklər sistemindəki sonuncu  -dan fərqli qalıqdır, yəni  .

İSBATI.Əvvəlcə göstərək ki,   ədədi   -nin ortaq bölənidir.

Sonuncu   bərabərliyindən görünür ki:  .Bunu nəzərə alıb   bərabərliyinə diqqət yetirsək, aydın olur ki,   (çünki   ).Bunu nəzərə alıb   - tapırıq ki,   və s. Bu mühakiməni yuxarıya doğru davam etdirməklə  -dən  ,  -dən isə   tapırıq. Deməli   ədədi   -nin ortaq bölənidir.

İndi  -nın ƏBOB olması üçün 2-ci tərifə görə göstərməliyik ki,   ədədi   -nin ixtiyari bir   ortaq böləninə bölünür.

  bərabərliklərini

 :  ,

 :  ,

 :  ,

...........................................

 :  ,


 :  

 :  

şəklində yazaq.   ixtiyari ortaq bölən olduğundan   , onda  -dən aydın olur ki:  .  -dən:  ,  -dən:   və s.; nəhayət,  -dən:   olduğunu tapırıq.Ona görə də  .

Teorem isbat olundu.

QEYD.İki    ədədləri   üçün həmişə qalıqlı bölmə alqorifmi olduğundan ən böyük ortaq bölənin varlığı da aşkar olur.

ƏdəbiyyatRedaktə

  1. Вандер Варден Б.Л. Алгебра “Наука“ 1976.
  2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.. Высшая школа, 1979.
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., Наука. 1977
  4. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., Просвещение, 1966.
  5. Столл Р.С. Множества.Логинка.Аксиоматические теории. Просвещение. 1968.
  6. Qasımov V.Ə. Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi. I və II his. 1998, 1999. BDU nəşriyyatı.
  7. M.H.Cavadov, R.Ə.Eyyubov, F.H.Əfəndiyev: Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi I hissə, 1988.
  8. M.H.Cavadov, R.Ə.Eyyubov, F.H.Əfəndiyev: Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi II hissə, 1989.
  9. M.H.Cavadov, R.Ə.Eyyubov, F.H.Əfəndiyev: Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi III hissə, 1992.
  10. Abdulkərimov L.Ş., Baxşəliyev Y.R. və b. Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi IV hissə, 1995.

Xarici keçidlərRedaktə