Eyler çevrilməsi — nəticə verə bilən funksiyalar arasındakı əlaqə, bəzi hallarda Eyler çevrilməsi olaraq adlandırılır. İki fərqli formada var olan çevrilmə, ardıcıl silsilələrin yığılmasını sürətləndirə bilir. Başqa bir deyimlə,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b16603efbcf6549c78bade15c9b705828d08b)
ifadəsində x yerinə 1/2 qoyularaq 1 əldə edilə bilir. Sağdakı elementlər çox sürətli şəkildə kiçildikləri üçün bu cəm asanlıqla hesablana bilir.
Eyler çevrilməsi aşağıdakı formada ümumiləşdirilə bilər:
p = 0, 1, 2, … üçün
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9dfc9dbbbe278cca73d172f1721ab350b7fc91)
bərabərliyi təmin edilir.
Eyler çevrilməsi
hipergeometrik silsiləsinə sıxlıqla tətbiq edilir. Bu halda Eyler çervilməsi
![{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d3b64ee90521333da8e498a7b279f7f9a59065)
olaraq ifadə edilə bilir.
Binom çevrilməsi və bunun fərqli bir tətbiqi olan Eyler çevrilməsi bir ədədin daimi kəsr olaraq ifadə edilməsində böyük əhəmiyyət daşıyır.
ədədinin daimi kəsr ifadəsinin
![{\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7250647ff8ecbbd24e395ebbf869b5585bd8cb5f)
olduğu güman edilərsə, burdan
![{\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d6b4f117e791acdbd5c1a637c88460fca616e0)
və
![{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61df86df5041b6f62dc630b45ef074280202162a)
nəticələri alınır.