Eyler çevrilməsi

Eyler çevrilməsi — nəticə verə bilən funksiyalar arasındakı əlaqə, bəzi hallarda Eyler çevrilməsi olaraq adlandırılır. İki fərqli formada var olan çevrilmə, ardıcıl silsilələrin yığılmasını sürətləndirə bilir. Başqa bir deyimlə,

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}$

ifadəsində x yerinə 1/2 qoyularaq 1 əldə edilə bilir. Sağdakı elementlər çox sürətli şəkildə kiçildikləri üçün bu cəm asanlıqla hesablana bilir.

Eyler çevrilməsi aşağıdakı formada ümumiləşdirilə bilər:

p = 0, 1, 2, … üçün

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}$

bərabərliyi təmin edilir.

Eyler çevrilməsi $\,_{2}F_{1}$ hipergeometrik silsiləsinə sıxlıqla tətbiq edilir. Bu halda Eyler çervilməsi

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)$

olaraq ifadə edilə bilir.

Binom çevrilməsi və bunun fərqli bir tətbiqi olan Eyler çevrilməsi bir ədədin daimi kəsr olaraq ifadə edilməsində böyük əhəmiyyət daşıyır. $0<x<1$ ədədinin daimi kəsr ifadəsinin

$x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$

olduğu güman edilərsə, burdan

${\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]$

və

${\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ]$

nəticələri alınır.