Eynşteyn cəmləmə qaydası

Eynşteyn cəmləmə qaydası Albert Eynşteyn tərəfindən, Ümumi Nisbilik Nəzəriyyəsi yazılarkən daha qısa və anlaşıqlı dildə cəmləmə əməliyyatını($\sum$) ifadə etmək məqsədilə gətirilib. Sonralar bu nəzəriyyədən istifadə edən digər alimlər arasında da bu ifadə tərzi yayılmağa başladı.

Qayda ondan ibarətdir ki, hər hansı növ tenzorlardan, koordinatlardan ibarət birhədlidə eyni simvol həm alt indeks, həm də üst indeks kimi yazılırsa, bu, o birhədlidə həmin indeks üzrə bütün komponentlərin bir-birilə cəmlənməsi anlamına gəlir:

$$x^{\alpha }x_{\alpha }=\sum _{\alpha =0}^{m}{x^{\alpha }x_{\alpha }}$$Bu, ${\vec {x}}$ yerdəyişmə vektoru üçün uzunluğun kvadratı($|{\vec {x}}|^{2}$) düsturu olub,

$x^{\alpha }$—${\vec {x}}$ yerdəyişmə vektorunun $\alpha$ koordinatını,

$x_{\alpha }$—${\tilde {x}}$ yerdəyişmə kovektorunun $\alpha$ koordinatını($x_{\alpha }=g_{\alpha \lambda }x^{\lambda }$),

m — koordinatların sayını göstərir.

Skalyar hasil

İki ${\vec {V}}=(V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})$ və ${\vec {U}}=(U^{0},U^{1},U^{2},U^{3})$vektoru verilirsə bu vektorların skalyar hasili Eynşteyn cəmləmə qaydası ilə daha qısa şəkildə belə ifadə olunar:

${\vec {V}}\cdot {\vec {U}}=V^{\alpha }U_{\alpha }=V^{0}U_{0}+V^{1}U_{1}+V^{2}U_{2}+V^{3}U_{3},\quad U_{\alpha }=g_{\alpha \lambda }U^{\lambda }$

burada

$g_{\alpha \lambda }$ — metrik tenzordur. Evklid fəzasının metrikası diaqonal olduğundan və sıfırdan fərqli bütün komponentləri vahidə bərabər olduğundan($g_{\alpha \beta }=\delta _{\beta }^{\alpha }$) skalyar hasil ${\vec {V}}\cdot {\vec {U}}=V^{0}U^{0}+V^{1}U^{1}+V^{2}U^{2}+V^{3}U^{3}$ formasını alır.