Kəsilməz funksiya

Funksiyanın kəsilməzliyi — əgər

$\lim _{x\to x_{0}}$ f(x)=f($x_{0}$) (1)

olarsa, yəni f(x) funksiyası x=$x_{0}$-da təyin olunub və istənilən Ԑ>0 üçün elə δ=δ(Ԑ,$x_{0}$) >0 ədədi var ki, $\left\vert x-x_{0}\right\vert$˂δ şərtini ödəyən və f(x)-in təyin oblastından olan istənilən x üçün 

$\left\vert f(x)-f(x_{0})\right\vert$˂Ԑ

bərabərsizliyi doğrudursa, onda f(x) funksiyası x=$x_{0}$-da (və ya $x_{0}$ nöqtəsində) kəsilməz adlanır.

Əgər f(x) funksiyası verilmiş X=$\{x\}$ çoxluğunun (intervalın, parçanın və i.a.) bütün nöqtələrində kəsilməzdirsə, bu funksiya X çoxluğunda kəsilməz adlanır.

Əgər f(x) funksiyasının X=$\{x\}$ təyin oblastına daxil olan və ya bu çoxluğun limit nöqtəsi olan hər hansı x=$x_{0}$ nöqtəsində (1) bərabərliyi ödənmirsə (yəni ya (a) f($x_{0}$) ədədi yoxdur,başqa sözlə,funksiya x=$x_{0}$ nöqtəsində təyin olunmayıb, ya (b) lim{x \to $x_{0}$}{f(x)} yoxdur, ya da (c) (1) düsturunun hər iki tərəfinin mənası var,lakin onlar bir-birinə bərabər deyil), onda $x_{0}$ nöqtəsi f(x) funksiyasının kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Kəsilmə nöqtələrini aşağıdakı kimi fərqləndirirlər: 1) I növ kəsilmə nöqtəsi elə $x_{0}$ nöqtəsinə deyilir ki, bu nöqtədə sonlu sol və sağ limitləri

f($x_{0}$-0)=$\lim _{x\to x_{0}-0}$f(x), f($x_{0}$+0)= $\lim _{x\to x_{0}+0}$f(x)

var;2) II növ kəsilmə - bütün qalan nöqtələrdir.

f($x_{0}$+0) - f($x_{0}$-0)

fərqi $x_{0}$ nöqtəsində funksiyanın sıçrayışı adlanır.

Əgər

f($x_{0}$-0) = f($x_{0}$+0)

bərabərliyi ödənərsə, onda $x_{0}$ kəsilmə nöqtəsi aradan qaldırıla bilən adlanır. Əgər f($x_{0}$-0) və ya f($x_{0}$+0) limitlərindən heç olmasa biri ∞ simvoluna bərabərdirsə, onda $x_{0}$ sonsuz kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Əgər

f($x_{0}$-0) = f($x_{0}$) f($x_{0}$+0) = f($x_{0}$)

bərabərliyi ödənərsə, onda f(x) funksiyasına $x_{0}$ nöqtəsində soldan (sağdan) kəsilməz deyilir. f(x) funksiyasının $x_{0}$ nöqtəsində kəsilməzliyi üçün zəruri və kafi şərt üç ədədin bərabərliyidir:

f($x_{0}$-0) = f($x_{0}$+0) = f($x_{0}$)

2.Elementar funksiyaların kəsilməzliyi.Əgər f(x) və g(x) funksiyaları x=$x_{0}$ nöqtəsində kəsilməzdirlərsə,onda

a)f(x) ± g(x) b)f(x)g(x) c)${\frac {f(x)}{g(x)}}$ (g($x_{0}$)≠0)

funksiyaları da x=$x_{0}$-da kəsilməzdir.

Xüsusi halda: a) tam rasional

P(x)=$a_{0}$+$a_{1}$x+...+$a_{n}$$x^{n}$

funksiyası istənilən x nötəsində kəsilməzdir; b) kəsr rasional 

R(x)=${\frac {a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}}}$

funksiyası məxrəcin sıfra çevrilmədiyi hər bir x nöqtəsində kəsilməzdir.

Ümumiyyətlə, elementar funksiyalar: $x^{n}$,sinx,cosx,tgx,$a^{x}$,log_a(x),arcsinx,arccosx,arctgx,... təyin olunduqları bütün nöqtələrdə kəsilməzdir.

Daha ümumi nəticə aşağıdakılardır: əgər f(x) funksiyası x=$x_{0}$-da kəsilməzdirsə və g(y) funksiyası y=f($x_{0}$)-da kəsilməzdirsə,onda g(f(x)) funksiyası x=$x_{0}$-da kəsilməzdir.