Muavr düsturu

Muavr düsturu — kompleks ədədlər üçün ifadə olunan $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\$ düsturu, iddia edir ki, ixtiyari $n\in \mathbb {Z}$ üçün olduqda Muavr düsturu aşağıdakı kimi olur:

$z^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )\$.

İsbatı

Muavr düsturunu Eyler düsturu ilə $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \$ ifadə edib və qüvvət əməllərini $(e^{a})^{b}=e^{ab}\!$ yerini yetirib isbat etmək olar. Burada b — tam ədəddir.

Tətbiqi

Analoji düstur həmçinin kompleks ədədlərin sıfırdan fərqli n-ci köklərinin tapılmasında istifadə olunur:

$z^{1/n}=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),$

k = 0, 1, …, n—1 olduqda.

Tarix

Bu düstur ilk dəfə XVIII əsrdə yaşamış fransız riyaziyyatçısı Abraham de Muavr tərəfindən kəşf edilmişdir və onun şərəfinə adlandırılmışdır.