Qrupların homomorfizmi

Tutaq ki, iki $\left\langle G,\centerdot \right\rangle$ və ,$\left\langle G,\circ \right\rangle$ qrupları və $G$ çoxluğunun $G$-ə $f:G\rightarrow G'$ inikası verilmişdir.

Tərif 1. Əgər $f$ inikası

$(\forall x,y\in G)(f(xy)=f(x)\circ f(y)),$

şərtini ödəyərsə onda belə inikas homomorfizm adlanır.

Tərif 2. $f$ homomorfizmi biyektiv inikas olarsa, onda o, izomorfizm adlanır. Əgər $f:G\rightarrow G'$ inikası izomorfizm olarsa, onda $\left\langle G,\centerdot \right\rangle$ və ,$\left\langle G,\circ \right\rangle$ qrupları izomorf qruplar adlanır və bu belə işarə olunur $\left\langle G,\centerdot \right\rangle \cong \left\langle G,\circ \right\rangle$ (çox vaxt sadəcə $G\cong G'$ kimi də yazılır).

Teorem 1. Əgər $f:G\rightarrow G'$ homomorfizmi verilərsə, onda aşağıdakı münasibətlər doğrudur:

$(\forall x\in G)(f(x^{-1})=(f(x)^{-1}),f(e)=e'.$

İsbatı. Hər şeydən əvvəl qeyd edək ki,

$f(e)\circ e'=f(e)=f(ee)=f(e)\circ f(e).$

Onda, buradan ixtisar qanununa əsasən yaza bilərik $f(e)=e'$. Daha sonra

$f(xx^{-1})=f(x)\circ f(x^{-1})=f(e)=e'.$

Deməli, $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}.$ . Teoremin isbatı başa çatdı.

Tərif 3. $G$ çoxluğunun

$Kerf=\{x\in G|f(x)=e'\}$

bərabərliyi ilə təyin olunan alt çoxluğuna homomorfizmin nüvəsi deyilir;

$Imf=\{y\in G'|(\exists x\in G)(y=f(x))\}$

bərabərliyi ilə təyin olunan alt çoxluq isə homomorfizmin obrazı adlanır.

Misallar. 1. $\left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle$ , ilə $R_{+}$ müsbət həqiqi ədədlərin multiplikativ qrupunu işarə edək. $x\rightarrow lnx$ inikası $R_{+}$ çoxluğunu $R$ -ə inikas edir.

$lnxy=lnx+lny$

bərabərliyi göstərir ki, bu inikas $\left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle$, qrupunun həqiqi ədədlərin $\left\langle R,+\right\rangle$ additiv qrupuna homomorfizmidir. O eyni zamanda həm də izomorfizmdir.

2. $f(x)=\left|x\right\vert \quad$ inikası $\left\langle R\ \{0\},\centerdot \right\rangle$ qrupunun $\left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle$, qrupuna homomorfizmidir. Bu homomorfizm izomorfizm deyil.

$x\rightarrow e$ inikası $\left\langle R,+\right\rangle$ qrupunun $\left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle$ , qrupuna izomorfizmidir.