Rikkati tənliyi

$y^{\prime }+a(x)y+b(x)y^{2}+c(x)=0$ $(*)$

şəklində tənliyə Rikkati tənliyi deyilir. Rikkati tənliyi $b(x)=0$ olduqda xətti, $c(x)=0$ olduqda isə Bernulli tənliyinə çevrilir. Rikkati tənliyinin hər hansı $y_{1}(x)$ xüsusi həlli məlum olduqda $y(x)=y_{1}(x)+z(x)$ əvəzləməsi vasitəsilə Bernulli tənliyinə gətirlir. Ümumi halda, Rikkati tənliyi kvadraturaya gətirilə bilmir, yəni həll etmək olmur.

Tarixi

Xüsusi halda:

$b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)$

haradakı $\alpha ,\,a,\,b\neq 0$ —sabiti, ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı tədqiq etmişdir Yakopo Françesko Rikkati və ailələrini Bernulli . $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ или $\alpha =-2$ Jozef Liuvill (1841)isbat etmişdir. $(*)$ şəkildə ümumi Rikkati tənliyi , $(**)$ — isə xüsusi Rikkati tənliyi adlanır.

Xassələri

1. $y^{\prime }+m(x)(Ay+By^{2}+C)=0$ olduqda dəyişənlərinə ayrılan,
2. $y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}+C=0$ olduqda bircins,
3. $y^{\prime }+A{\frac {y}{x}}+B(y)^{2}+{\frac {C}{x^{2}}}=0$ olduqda ümumiləşmiş bircns tənliyə çevrilir.

Nümunə.

$y^{\prime }+2ye^{x}-y^{2}=e^{2x}+e^{x}$ Rikkati tənliyini həll edin.

Həlli:

$y_{1}(x)=e^{x}$ tənliyin həlli olduğunu bilavasitə yoxlamaq olar. Onda $y(x)=z+e^{x}$ əvəzləməsini aparmaqla alırıq:

$z^{\prime }+e^{x}+2(z+e^{x})e^{x}-(z+e^{x})^{2}=e^{2x}+e^{x},z^{\prime }-z^{2}=0.$

Alınan tənliyi həll etsək, $z={\frac {1}{x+C}}.$

Deməli, $y=e^{x}-{\frac {1}{x+C}}$ Rikkati tənliyinin ümumi həlli olur.

Ədəbiyyat

• Q.T. Əhmədov, K.Q. Həsəov, M.H. Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978.
• И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1984.
• Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М., Наука, 1982.
• В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М., 1959.
• А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 2004.
• X.M. Quliyev, K.Q. Həsəov, Difernsial tənliklər, Məsələ və misallar tənliyi, Bakı, Çaşıoğlu, 2001.
• M.H. Yaqubov, Y.T. Mehrəliyev, Birtərtibli adi difernsial tənliklər, BDU, Bakı, 1999.
• Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969.
• Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974.
• А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.

Xarici keçidlər

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation