Elliptik inteqral

$\int \limits _{}^{}R(x,{\sqrt {P(x)}})dx$ (1)

inteqralına baxaq.Burada $P(x)$ dərəcəsi $n\geqslant 3$ olan çoxhədlidir.$n=3$ və $n=4$ olduqda (1) şəklindəki inteqrallara $elliptik$ inteqrallar,$n\geqslant 5$ olduqda isə $hiperelliptik$ inteqrallar deyiıir.Abel və Liuvill isbat etmişlər ki,elliptik inteqrallar, ümumiyyətlə, sonlu şəkildə hesablanmir.Göstərmək olar ki, (1) şəklindəki inteqrallar $n=3$ və $n=4$ olduqda hesablanan inteqrallar dəqiqliyi ilə aşağıdakı inteqrallardan birinə gətirilir ( burada $0<k<1$ parametrdir ) :

$\int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}$ (2)

$\int \limits _{}^{}{\tfrac {x^{2}dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}$ (3)

$\int \limits _{}^{}{\tfrac {dx}{\sqrt {(1+nx^{2})(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}$ (4)

(2), (3) və (4) inteqrallarını əvəzləmələr vasitəsilə uyğun olaraq aşağıdakı inteqrallara gətirmək olar:

$\int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )}}}$ (5)

$\int \limits _{}^{}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi$ (6)

$\int \limits _{}^{}{\tfrac {d\varphi }{(1-n\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$ (7)

(5), (6) və (7) inteqrallarına uyğun olaraq 1-ci, 2-ci və 3-cü elliptik inteqrallar deyilir.(5) və (6) inteqrallarının $\varphi =0$ qiymətində sıfra çevrilən ibtidai funksiyalarını uyğun olaraq $F(k,\varphi )$ və $E(k,\varphi )$ ilə işarə edirlər.