|
[[Şəkil:Log.svg|thumb|right|300px|Natural loqarifma [[funksiya|funksiyasının]] [[funksiyanın qrafiki|qrafiki]]. Funksiya ''x'' artımı anında yavaş-yavaş müsbət sonsuzluğa yaxınlaşır. "x" sıfır olduqda isə mənfi sonsuzluğa doğru sürətlə yaxınlaşır ("yavaş-yavaş" və "sürətlə" kəlmələri istənilən digər funksiya ilə müqayisədə işlənmişdir).]]
'''Natural loqarifma''' — əsası [[e (ədəd)|''e'']] olan [[loqarifma]]. Burada e — irrasional sabitdir və təxminən 2,718<span style=" margin-left:0.25em" >281</span><span style="margin-left:0.2em" >828</span>-ə bərabərdir. Natural loqarifma adətən ln (''x'') kimi işarələnir. Həmçinin log<sub>''e''</sub> (''x'') və ya əgər e əsası nəzərdə tutulursa, sadəcə log("x") kimi işarələnir<ref>{{ cite book|title=Mathematics for physical chemistry | edition=3rd | first1=Robert G.| last1=Mortimer | publisher=Academic Press | year=2005 | isbn=0-125 - 08347-5 | page=9 | url=http://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC}}, [http://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC&pg=PA9 Extract of page 9] </ref>.
''e'' (''ln (e) '') ədədinin natural loqarifma [[1 (ədəd)|vahidə]] bərabərdir, çünki ''e''<sup>1</sup> = ''e''. Vahidin natural loqarifması (''ln (1) '') sıfıra bərabərdir, çünki ''e''<sup>0</sup> = 1-dir. Loqarifmanın tərifinə görə istənilən əsaslı vahidin loqarifması sıfıra bərabərdir.
Natural loqarifma y= 1/x [[inteqral|əyrisi altındakı sahədə]] 1-dən a-ya qədər olan istənilən müsbət həqiqi ədəd kimi müəyyən edilə bilər. Bu təyinin sadəliyi, başqa düsturlarla da uyğun gəlir. Bu düsturların bir çoxunda natural loqarifma tətbiq olunur. Bu təyinlərə əsasən e əsaslı loqarifmaya "natural" loqarifma deyilir. Bu təyini [[kompleks ədədlər]]də də istifadə etmək olar.
Əsas natural loqarifmik eyniliklər:
: <math>e^{ \ln {a}} = a \quad (a > 0) </math>
::Qeyd: Ümumiyyətlə bu eynilik əsas loqarifmik eynilik sayılır:<math>{a^{\log_a b}}=b</math>
: <math>\ln (e^a) = a</math>
:: İsbatı: <math>\ln (e^a)=a \cdot{\ln {e}}=a</math>
Bütün loqarifmalar kimi, natural loqarifmanın hasili onların cəminə bərabərdir:
: <math> \ln (xy) = \ln (x) + \ln (y) \! \, </math>
Beləliklə, loqarifmik funksiyaların vurulması (müsbət ədədlər qrupu), bu funksiyalarının toplanması (həqiqi ədədlər qrupu) ilə izomorfizm təşkil edir. Bunu [[funksiya (riyaziyyat)|funksiya]] kimi belə təsvir etmək olar:
: <math>\ln: \mathbb{ R}^+ \to \mathbb{ R} .</math>
İstənilən əsasdan 1-dən başqa istənilən ədədin loqarifmasını təyin etmək mümkündür. Loqarifmalar bir çox tənliklərin həllində istifadə edilir. Xüsusən də naməlum obyektin dərəcə göstəricisi kimi istifadə edilir. Məsələn, loqarifmalar məlum yarımdağılma dövrü üçün və ya radioaktivlik məsələlərinin həllində dağılma zamanın tapılması, dağılma sabitinin tapılması üçün istifadə olunur. Loqarifmalar [[riyaziyyat]] və [[tətbiqi elmlər]]in bir çox sahələrində mühüm rol oynayır. Bir çox məsələlərin həllində - maliyyə sahəsində, mürəkkəb faizlərin tapılması kimi əməliyyatlarda istifadə edilir.
==Tarixi==
Natural loqarifma birinci dəfə Nikolas Merkator tərəfində [[1668-ci il]]də dərc edilmiş ''Logarithmotechnia'' əsərində qeyd etmişdir<ref>{{ cite web | author=J J O'Connor and E F Robertson | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html | title=The number e | publisher=The MacTutor History of Mathematics archive | date=2001-09 | archiveurl=http://www.webcitation.org/65NiCJyO4 | archivedate=2012 - 02-12}} </ref>. Hərçənd ki, hələ [[1619-cu il]]də riyaziyyat müəllimi olan Con Spaydell natural loqarifmaların cədvəlini qurmuşdu<ref>{{ cite book | last=Cajori | first=Florian | title=A History of Mathematics, 5th ed | pages=152 | publisher=AMS Bookstore | year=1991 | isbn=0821821024 | url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+}} </ref>. Əvvəllər bu loqarifmanı hiperbolik loqarifma adlandırırdılar<ref>{{ cite web | author=Flashman, Martin | url=http://www.humboldt.edu/~mef2/Presentations/Estimations.html | title=Estimating Integrals using Polynomials | archiveurl=http://www.webcitation.org/65NiCr1s9 | archivedate=2012 - 02-12}} </ref>, çünki, natural loqarifma [[hiperbola]]nın altındakı sahədə təyin olunur. Bəzən bu loqarifmanı Nepera loqarifması da adlandırırlar.
== Yazılış müxtəlifliyi ==
=== Sovet sistemi ===
Natural loqarifmanın "ln (''x'')" yazılışı qəbul edilmişdir. Əsası 10 olan [[onluq loqarifma]] — "lg (''x'')" vasitəsilə və başqa əsaslar "log" simvolu ilə yazılış qəbul edilmişdir.
Diskret riyaziyyat, kibernetika, informatika müəlliflərinin bir çoxu əsası 2 olan loqarifmalar üçün "log (''x'')" işarəsindən istifadə edirlər, amma bu yazılış hamı tərəfindən qəbul edilməyib və izah olunmayıb.
Loqarifma arqumenti mötərizə daxilində (əgər bu düsturun səhv oxumasına gətirmirsə) yazılır. Loqarifmik ifadələrin qüvvətini bilavasitə loqarifmanın işarələrinə yazırlar: ln<sup>2</sup> ln<sup>3</sup> 4''x''<sup>5</sup> = ''' ['''ln''' (''' [ln (4''x''<sup>5</sup>)] <sup>3</sup>''')] '''<sup>2</sup>.
=== İngilis-Amerikan sistemi ===
Riyaziyyat, statistika və mühəndislikə adətən natural loqarifma "ln (''x'')" və ya "log (''x'')" işarəsi ilə yazılır. Əsası 10 olan onluq loqarifma — "log<sub>10</sub> (''x'')" kimi yazı.
Bəzi mühəndislər, bioloqlar və mütəxəssislər həmişə "ln(''x'')" yazırlar (bəzən "log<sub>e</sub> (''x'')"). Onlar əsasın natural (və ya onluq) loqarifma olduğunu nəzərdə tutaraq "log (''x'')" işarəsindən də istifadə edirlər.
Nəzəri informatikada, məlumat nəzəriyyəsində "log (''x'')" kriptoqrafiyası adətən əsası 2 olan ( "log<sub>2</sub> (''x'')") loqarifmanı bildirir.
=== Texnika ===
Ən çox istifadə edilən proqramlaşdırma dillərində və tətbiqi proqramlar paketləri olan [[C (proqramlaşdırma dili) | C]], [[C++]], SAS, [[MATLAB]], [[Fortran]] və [[Basic]] "log" və ya "LOG" funksiyaları natural loqarifmaya aiddir.
Adi kalkulyatorlarda natural loqarifma '''ln''' kimi görünür. Burada '''log''' əsası 10 olan loqarifmanın işarəsidir.
== Xüsusi halları ==
* <math>\ln(1) = 0\,</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,</math>
== [[Törəmə]], [[Teylor sırası]] ==
==Natural loqarifmanın [[inteqral|inteqralı]]==
[[Şəkil:LogTay.svg | 300px|thumb|right| Teylor çoxhədliləri <math>\ln (1+x) \, </math> üçün yalnız - 1 < ''x'' ≤ 1 oblastında dəqiq yaxınlaşmanı verir. Qeyd edək ki, ''x'' > 1 olduqda Teylor çoxhədlisi ''zəif'' yaxınlaşmasını verir.]]
Natural loqarifma ''g'' (''x'')= ''f''(''x'') /''f'' (''x'') növünün sadə inteqral funksiyasını verir: ''g'' (''x'') funksiyaları ln(|''f''(''x'')|) funksiyalarına bənzəyir. Bu zəncir qaydası ilə və aşağıdakı faktla təsdiq edilir:
:<math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>
Başqa növ:
: <math>\int{ 1 \over x} dx = \ln | x | + C</math>
və
: <math>\int{ \frac{ f' (x)}{ f (x)} \, dx} = \ln | f (x) | + C.</math>
Aşağıda ''g'' (''x'')=tan(''x'') üçün nümunə verilmişdir:
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>
Tutaq ki, ''f'' (''x'') = cos (''x'') və ''f'''(''x'') = - sin (''x''):
:<math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C</math>
: <math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|}+C</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C</math>
burada ''C'' — sərbəst sabit həddir.
Natural loqarifmanı hissə-hissə inteqrallama üsulu ilə inteqrallamaq olar:
:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.</math>
== Ədədi qiyməti ==
Ədədin natural loqarifmasının qiymətinin hesablaması üçün sıra şərtini gözləməklə Teylor üsulundan istifadə etmək olar:
: <math>\ln (1+x) = x \, \left (\frac{ 1}{ 1} - x\, \left (\frac{ 1}{ 2} - x \, \left (\frac{ 1}{ 3} - x \, \left (\frac{ 1}{ 4} - x \, \left (\frac{ 1}{ 5} - \dots \right) \right) \right) \right) \right) \quad{ \rm for} \quad \left | x\right | <1.\, \! </math>
Bu prosesi daha tez etmək üçün aşağıdakı eynilikdən istifadə etmək olar:
:{|
|-
| <math>\ln (x) = \ln\left (\frac{ 1+y}{ 1-y} \right) </math>
| <math>= 2\, y\, \left (\frac{ 1}{ 1} + \frac{ 1}{ 3} y^{ 2} + \frac{ 1}{ 5} y^{ 4} + \frac{ 1}{ 7} y^{ 6} + \frac{ 1}{ 9} y^{ 8} + \dots \right) </math>
|-
|
| <math>= 2\, y\, \left (\frac{ 1}{ 1} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 3} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 5} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 7} + y^{ 2} \, \left (\frac{ 1}{ 9} + \dots \right) \right) \right) \right) \right) </math>
|}
:Qeyd:''y'' = (''x''−1) / (''x''+1) və ''x'' > 0 şərtini gözləməklə.
ln (''x'') üçün ''x'' > 1 olduqda və ''x'' nə qədər 1-ə yaxın qiymət aldıqda bu proses sürətlə gedir. Həmçinin loqarifma ilə bağlı eyniliklərdən istifadə etmək olar:
:{|
|-
| <math>\ln (123{,} 456) \! </math>
| <math>= \ln (1{,} 23456 \times 10^2) \, \! </math>
|-
|
| <math>= \ln (1{,} 23456) + \ln (10^2) \, \! </math>
|-
|
| <math>= \ln (1{,} 23456) + 2 \times \ln (10) \, \! </math>
|-
|
| <math>\approx \ln (1{,} 23456) + 2 \times 2{,} 3025851 \, \! </math>
|}
Bu metodlar hələ kalkulyatorlar yaranmamışdan əvvəl tətbiq edilirdi. Bunun yuxarıda göstərilən analoji ədəd cədvəllərindən istifadə olunurdu və manipulyasiyalar yerinə yetirilirdi.
=== Yüksək dəqiqlik ===
Kiçik miqyaslı dəqiqliklə natural loqarifmanın hesablanması üçün bir Teylor üsulu əlverişli deyil və vaxt aparandır. Alternativ və səmərəli Nyuton üsulundan istifadə etmək olar.
Natural loqarifmanın törəməsi:
Çox yüksək dəqiqlikli hesablanma üçün düstur:<ref>{{ cite journal | first1=T.| last1=Sasaki | first2=Y.| last2=Kanada | title=Practically fast multiple-precision evaluation of log (x) | journal=Journal of Information Processing | volume=5 | issue=4 | pages=247 – 250 | year=1982 | url=http: //ci.nii.ac.jp / naid/110002673332 | accessdate=30 March 2011}} </ref><ref>{{ Cite journal | first1=Timm | last1=Ahrendt | title=Fast computations of the exponential function | series=Lecture notes in computer science | doi=10.1007/3-540-49116-3_28 | volume=1564 | year=1999 | pages=302 – 312}} </ref>
: <math>\frac{ d}{ dx} \ln (x) = \frac{ 1}{ x} .\, </math>
Buna əsasən <math>\ln (1+x) \, </math> ayrılışını yerinə yetirmək olar və Teylor təxminən 0 ətrafında qiymət alır və bu Merkator sırası adlandırılır:
: <math>\ln x \approx \frac{ \pi}{ 2 M (1,4/s)} - m \ln 2</math>
:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1\quad</math>
:: <math>{ \rm unless} \quad x = - 1</math>
Sağda təsvir edilmiş <math>\ln (1+x) \, </math> və başqa Teylor çoxhədliləri 0 ətrafında qiymət alır. Bu yaxınlaşma yalnız - 1 < ''x'' ≤ 1 oblastında mümkümdür və bu hüdudlar xaricində yüksək dərəcəli Teylor çoxhədliləri daha az dəqiq yaxınlaşma verir.
haradakı ''M'' - 1 və 4/s arifmetik-həndəsi ortasını ifadə edirsə və
''x''-in yerinə ''x''-1 qoysaq, ln (x) üçün alternativ formanı alaq:
: <math>s =\ln (x) =\,sum_{ n=1} 2^m\infty >\frac{ (-1) 2^{ p/2n+1},}{ n} (x-1) ^ n</math>
:<math>\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots</math>
''m'' ''p'' dəqiqlik simvolunun təyini üçün istifadə edilir (adətən 8 qiyməti kifayət edir). Əslində, bu metodun istifadə olunması üçün səciyyəvi funksiyanın natural loqarifmasına Nyuton inversiyası tətbiq etmək mümkün olmalıdır.
: <math>{ \rm for} \quad \left | x-1\right | \leq 1\quad{ \rm unless} \quad x = 0.</math><ref> [http://www.math2.org/math/expansion/log.htm "Logarithmic Expansions" at Math2.org] </ref>
=== Hesablama çətinliyi ===
Natural loqarifmaların (arifmetik-həndəsi ortanın köməyi ilə) hesablama çətinliyi O(''M'' (''n'') ln ''n'') bərabərdir. Burada ''n'' — dəqiqlik rəqəmlərinin sayıdır, hansının ki, natural loqarifmasının qiyməti olmalıdır, və ''M'' (''n'') — iki ''n''-rəqəmli ədədin vurulmasının hesablaması çətinliyidir.
Bir sıra Merkator Eyler dəyişikliyinin köməyi ilə aşağıdakı ifadəni almaq olar (yalnız x>1 olduğu halda):
: <math>\ln{ x \over{ x-1}} = \sum_{ n=1} ^\infty{ 1 \over{ n x^n}} ={ 1 \over x} +{ 1 \over{ 2x^2}} +{ 1 \over{ 3x^3}} + \dots</math>
== Davamlı kəsrlər ==
Hərçənd ki, loqarifmanın təsviri zamanı sadə davamlı kəsr mövcud deyil, amma bir neçə ümumiləşmiş davamlı kəsrdən istifadə etmək olar:
Bu sıra Beyli — Borueyn — Plaffa düsturuna oxşardır.
: <math>
\log (1+x) =\frac{ x^1}{ 1} -\frac{ x^2}{ 2} +\frac{ x^3}{ 3} -\frac{ x^4}{ 4} +\frac{ x^5}{ 5} -\dots=
\cfrac{ x}{ 1-0x+\cfrac{ 1^2x}{ 2-1x+\cfrac{ 2^2x}{ 3-2x+\cfrac{ 3^2x}{ 4-3x+\cfrac{ 4^2x}{ 5-4x+\ddots}}}}}
</math>
Həmçinin onu da qeyd edək ki, <math> x \over{ x-1} </math> — bu xüsusi inverik funksiyadır, buna görə də ''y''-in müəyyən ədədinin natural loqarifmasının alınması üçün sadəcə ''x''-ə <math> y \over{ y-1} </math> qiymətini mənimsətmək lazımdır.
: <math>
\log \left (1+\frac{ 2x}{ y} \right) = \cfrac{ 2x}{ y+\cfrac{ x}{ 1+\cfrac{ x}{ 3y+\cfrac{ 2x}{ 1+\cfrac{ 2x}{ 5y+\cfrac{ 3x}{ 1+\ddots}}}}}}
= \cfrac{ 2x}{ y+x-\cfrac{ (1x) ^2}{ 3 (y+x) -\cfrac{ (2x) ^2}{ 5 (y+x) -\cfrac{ (3x) ^2}{ 7 (y+x) -\ddots}}}}
</math>
==Mənbə==
<references />
[[Kateqoriya:Elementar funksiyalar]]
[[Kateqoriya:Loqarifmalar]]
| 