Natural loqarifm: Redaktələr arasındakı fərq
Silinən məzmun Əlavə edilmiş məzmun
Sətir 52:
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,</math>
== [[Törəmə]], [[Teylor sırası]] ==
[[Şəkil:LogTay.svg | 300px|thumb|right| Teylor çoxhədliləri <math>\ln (1+x) \, </math> üçün yalnız - 1 < ''x'' ≤ 1 oblastında dəqiq yaxınlaşmanı verir. Qeyd edək ki, ''x'' > 1 olduqda Teylor çoxhədlisi ''zəif'' yaxınlaşmasını verir.]]
Natural loqarifmanın törəməsi:
: <math>\frac{ d}{ dx} \ln (x) = \frac{ 1}{ x} .\, </math>
Buna əsasən <math>\ln (1+x) \, </math> ayrılışını yerinə yetirmək olar və Teylor təxminən 0 ətrafında qiymət alır və bu Merkator sırası adlandırılır:
:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1\quad</math>
:: <math>{ \rm unless} \quad x = - 1</math>
Sağda təsvir edilmiş <math>\ln (1+x) \, </math> və başqa Teylor çoxhədliləri 0 ətrafında qiymət alır. Bu yaxınlaşma yalnız - 1 < ''x'' ≤ 1 oblastında mümkümdür və bu hüdudlar xaricində yüksək dərəcəli Teylor çoxhədliləri daha az dəqiq yaxınlaşma verir.
''x''-in yerinə ''x''-1 qoysaq, ln (x) üçün alternativ formanı alaq:
: <math>\ln (x) =\sum_{ n=1} ^\infty \frac{ (-1) ^{ n+1}}{ n} (x-1) ^ n</math>
:<math>\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots</math>
: <math>{ \rm for} \quad \left | x-1\right | \leq 1\quad{ \rm unless} \quad x = 0.</math><ref> [http://www.math2.org/math/expansion/log.htm "Logarithmic Expansions" at Math2.org] </ref>
Bir sıra Merkator Eyler dəyişikliyinin köməyi ilə aşağıdakı ifadəni almaq olar (yalnız x>1 olduğu halda):
: <math>\ln{ x \over{ x-1}} = \sum_{ n=1} ^\infty{ 1 \over{ n x^n}} ={ 1 \over x} +{ 1 \over{ 2x^2}} +{ 1 \over{ 3x^3}} + \dots</math>
Bu sıra Beyli — Borueyn — Plaffa düsturuna oxşardır.
Həmçinin onu da qeyd edək ki, <math> x \over{ x-1} </math> — bu xüsusi inverik funksiyadır, buna görə də ''y''-in müəyyən ədədinin natural loqarifmasının alınması üçün sadəcə ''x''-ə <math> y \over{ y-1} </math> qiymətini mənimsətmək lazımdır.
==Natural loqarifmanın [[inteqral|inteqralı]]==
Natural loqarifma ''g'' (''x'')= ''f''(''x'') /''f'' (''x'') növünün sadə inteqral funksiyasını verir: ''g'' (''x'') funksiyaları ln(|''f''(''x'')|) funksiyalarına bənzəyir. Bu zəncir qaydası ilə və aşağıdakı faktla təsdiq edilir:
| |||