Xan-Banax teoremi

Teorem

Tutaq ki, $p$ funksionalı $E$ həqiqi xətti fəzasında təyin olunmuş bircins qabarıq funksional, $f$ isə müəyyən $L\subset E$ xətti altfəzasında təyin olunmuş və istənilən $x\in L$ ünsürü üçün

f(x)\leq p(x)

şərtini ödəyən həqiqi xətti funksionaldır. Onda $f$ funksionalını bütün $E$ fəzasında təyin olunan və istənilən $x\in E$ ünsürü üçün

F(x)\leq p(x)

şərtini ödəyən $F$ həqiqi xətti funksionalına davam etdirmək olar.

İsbatı

$f$ funksionalının hər bir $x\in D(f^{\prime })$ ünsürü üçün $f^{\prime }(x)\leq p(x)$ bərabərsizliyini ödəyən bütün $f^{\prime }$ xətti davamları çoxluğunu $F_{p}$ ilə işarə edək. Burada $D(f^{\prime })$ $f^{\prime }$ funksionalının təyin oblastıdır. $f_{1}^{\prime },f_{2}^{\prime }\in F_{p}$ funksionallarından $f_{2}^{\prime }$ funksionalı $f_{1}^{\prime }$ -in davamı olduqda bunu $f_{1}^{\prime }<f_{2}^{\prime }$ şəklində ifadə edək. Onda $F_{p}$ bu münasibətə nəzərən qismən nizamlanmış çoxluq olar. Əgər $F_{p}^{\prime }$ -lə $F_{p}$ -nin (xətti) nizamlanmış hissəsini işarə etsək, $\bigcup \limits _{f^{\prime }\in F_{p}}D(f^{\prime })$ çoxluğunda təyin olunan və hər bir $x\in D(f^{\prime })$ , $f^{\prime }\in F_{p}^{\prime }$ üçün $f_{0}(x)=f^{\prime }(x)$ kimi verilən $f_{0}$ funksionalı $F_{p}^{\prime }$ çoxluğunun yuxarı sərhəddi olacaqdır. Bu da onu göstərir ki, $F_{p}$ çoxluğu Sorn lemmasının şərtlərini ödəyir. Onda bu lemmaya görə $F_{p}$ çoxluğu $F$ maksimal ünsürünə malikdir. Asanlıqla görmək olar ki, $f$ maksimal funksionalının təyin oblastı bütün $E$ oblastı ilə üst-üstə düşür. Əks halda $f$ funksionalının $D(F)$ təyin oblastından münasibətini ödəməklə davam etdirmək olardı. Bu isə $F$ -in maksimal ünsür olmasına zidd olardı. Bununla teorem isbat olundu.