Ən kiçik kvadratlar üsulu

Ən kiçik kvadratlar üsulu — reqressiya analizinin əsas üsullarından biri olub, təsadüfi xətalar daşıyan naməlum qiymətlərin analizi üçün istifadə olunur. Maşınqayırmada ölçmədən əldə olunmuş qiymətlər əsasında verilmiş prosesin modelləşdirilməsində bu üsul böyük əhəmiyyət daşıyır. Prosesin gedişinə müdaxilə etmədən, yəni ona qara qutu kimi baxmaqla onun giriş parametrlərinin dəyişməsi sayəsində çıxış göstəricilərində baş verən dəyişmələr, bu üsulun köməyi ilə emprik olaraq müxtəlif tərtibli polinomlar şəklində riyazi təsvir oluna bilirlər. Digər tətbiq sahəsi verilmiş mürəkkəb funksiyanı daha sadə funksiyalarlara əvəz etməkdir.

Mahiyyəti

Ən kiçik kvadratlar üsulunun mahiyyəti onun adından göründüyü kimi ölçmə nəticəsində əldə olunan qiymətlər və gözlənilən qiymətlər arasındakı fərqin (xətanın) kvadratının minimal olmasına əsaslanır. Yaxınlaşma zamanı funksiyanın modelini elə seçirlər ki, onun verdiyi qiymətlər ilə ölçmə nəticəsində alınmış qiymətlər arasında olan fərqlər kvadratlarının cəmi də minimum olsun.

Tutaq ki, $x$ — $m$ naməlum parametrlərin toplumdur, $f_{i}(x)$ , $i=1,\ldots ,n$ , $n>m$ isə bu toplumların funksiyalar cəmidir. Məslənin həlli ona gətirilir ki, x-in qiymətlərinin təyini zamanı bu funksiyaların qiymətləri $y_{i}$ -in verilən qiymətlərinə yaxın olsun. Əslində $f_{i}(x)=y_{i}$ , $i=1,\ldots ,n$ tənliklər sisteminin elə həlli axtraılır ki, onun sağ və sol tərəfləri maksimal yaxınlaşsınlar. Ən kiçik kvadratlar üsulu ona gətirir ki, sağ və sol tərələrinin arasındakı meyillənmənin kvadratlarının $|f_{i}(x)-y_{i}|$ yaxınlaşması baş versin. Beləliklə ən kiçik kvadratlar üsulunu aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:

\sum _{i}e_{i}^{2}=\sum _{i}(y_{i}-f_{i}(x))^{2}\rightarrow \min _{x}

.

Tənliklər siiseminin həlli varsa, kvadatların cəmi sıfıra bərabr olacaq və tənliklər sistemlərinin həlli analitik və ya ədədi üsullarla aparıla bilər. Əgər sistem təyin olunandırsa, yəni asılı olmayan tənliklərin sayı axtarılan dəyişənlərin sayından çoxdursa, onda sistemin dəqiq həlli mövcud deyil. Bu halda ən kiçik kvadratlar üsulu y və f(x) vektorlarnın maksimal yaxnlaşması və meyillənmənin (e) sıfıra yaxınlaşmasına imkan verən hər hansı optimal x-vektorunun tapılmasına imkan yaradır.

Mənbə

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. — 2-е изд. — М., 1962. (математическая теория)