Asimptot

Asimptot və ya asimpt'ota (yun. ασϋμπτωτος — uyğun gəlməyən, aid olmayan) — hər hansı bir M əyrisinə mümkün olan qədər yaxınlaşan hər hansı bir N əyrisi. Başqa cür desək, əgər M nöqtəsi sonsuzluğa yaxınlaşanda bu nöqtə ilə müəyyən bir düz xətt (N) arasındakı məsafə sıfıra yaxınlaşırsa bu düz xətt (N) bu əyrinin (funksiyanın) asimptotudur. Termindən ilk dəfə Apolloniya Perqa tərəfindən istifadə edilməsinə baxmayaraq, daha əvvəl Arximed hiperbola asimptotlarını tədqiq etmişdir.

$y={\frac {1}{x}}\!$ hiperbolası üçün absis və ordinat oxlarının asimptotu. Əyri öz asimptotuna bir tərəfi qalmaqla yaxınlaşa bilər	Qabarıqlıq və çöküklük. $y=e^{-0.1x}\sin(x)\!$. Əyri sonsuz çoxluq dəfə asimptotu keçə bilər
Sahədə əyri asimptot nümunəsi. Spiral sonsuz düzə yaxınlaşır

Asimptotların növləri

Maili asimptot

Maili asimptot — $~y=kx+b$ aşağıdakı limit mövcudluğu şərti ilə olan düz xətt.

Maili asimptotun nümunəsi

1. $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$
2. $\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b$

Qeyd: funksiya ən çox iki mail (həmçinin horizontal) asimptotuna malik ola bilər.

Qeyd: əgər heç olmasa iki asimptotdan birinin yuxarı hüdudlar mövcud deyilsə ( və ya $\infty$ bərabərdirsə), onda mail asimptot $x\to +\infty$ ( və ya $x\to -\infty$) anında mövcud deyil.

Şaquli asimptot

Şaquli asimptot — x=a, $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ şərti ilə olan düz xətt.

Bir qayda olaraq, şaquli asimptotun təyini zamanı iki birtərəfli (sol və sağ) hüdudları tapırlar. Bunun üçün funksiyanın (əyrinin) müxtəlif tərəflərdən şaquli asimptota yaxınlaşmasını təyin edirlər. Məsələn:

1. $\lim _{x\to a-0}f(x)=+-\infty$
2. $\lim _{x\to a+0}f(x)=-+\infty$

Qeyd: bu bərabərliklərdə sonsuzluq işarələrinə diqqət yetirin.

Absis oxuna paralel asimptot

Absis oxuna paralel (və ya horizontal) asimptot — $~y=a$ düz xəttinin $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=a$ limit şərti ilə olan asimptot növüdür.

Asimptotların tapılması

1. Şaquli asimptotların tapılması.
2. İki cür limitlə $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$ tapılma.
3. İki limitin tapılması $\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b$:

əgər $~k=0$, onda $~kx=0$, və limit $\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b$ olarsa, horizontal asimptotun $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=a$ düsturunu alarıq.

Maili asimptot — tam hissənin ayrılması

Həmçinin maili asimptotu tam hissəni ayırmaq üsulu ilə tapmaq olar. Məsələn:

Belə bir funksiya verilmişdir:

$~f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}$

Bəzi riyazi çevirmələr edib (surəti məxrəcdən ayırmaq), alarıq:

$~f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+1}}$.

  $~x\to \infty$ yaxınlaşanda,   ${\frac {x+2}{x^{2}+1}}\to 0$,   yəni:

$\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\lim _{x\to \pm \infty }(2x+5)=\pm \infty$

və $~y=2x+5$ tələb olunan asimptotların tənliyidir.