Roll teoremiparçanın uclarında bərabər qiymətlər alan funksiyanın törəməsinin sıfırları haqqında diferensial hesabının əsas teoremi[1].

Teorem.   parçasında kəsilməz,   intervalında differensiallanan   funksiyası   parçasının uc nöqtələrində bərabər   qiymətləri alırsa, onda   intervalında yerləşən heç olmasa bir elə   nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra bərabərdir:  .

İsbatı

redaktə

Funksiya   parçasında sabit olduqda teoremin doğruluğu aydındır. Bu halda  -in törəməsi   intervalının bütün nöqtələrində sıfıra bərabərdir və   nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar.

İndi fərz edək ki,   funksiyası sabit deyil. O,   parçasında kəsilməz olduğundan Veyerştrassın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı   və dəqiq yuxarı   sərhədinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır.

Sabit olmayan   funksiyası üçün   olar və   şərtinə görə funksiya    sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alar.

Tutaq ki,   funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili   nöqtəsində alır:  . Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyarı   üçün

 ,

buradan

 ,   olduqda,  
 ,   olduqda .  

  şərtində    bərabərsizliklərində limitə keçsək,

 ,   olduqda,
 ,   olduqda.

   münasibətlərindən   alınır.

  funksiyası dəqiq yuxarı sərhəddini parçanın daxili nöqtəsində aldıqda törəmənin sıfıra bərabər olduğu   nöqtəsinin varlığı eyni qayda ilə isbat olunur.

Mənbə

redaktə
  • Ali Riyaziyyat kursu I dərslik / Roll teoremi səh. 363; f.r.e.d. professor Rafiq Məmmədov; Maarif nəşriyyatı 1978

İstinadlar

redaktə
  1. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: "Наука", 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с

Həmçinin bax

redaktə
  • Mişel Roll[1]
  • Karl Vilhelm Veyerştrass[2]