Əyrinin uzunluğu

Uzunluq riyaziyyatda parça, yol və əyrilərin xassələrini səciyyələndirir. Əyrinin uzunluğu həmçinin "qövs uzunluğu" da adlanır.

Parçanın uzunluğu

Əgər, uyğun olaraq $(a_{1},a_{2},a_{3})$ , $(b_{1},b_{2},b_{3})$ koordinatlarına malik $A$ və $B$ nöqtələri verilmiş $\mathbb {R} ^{3}$ fəzaya aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı $AB$ parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:

$|AB|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}$

Müstəvidə yolun uzunluğu

Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:

$t\mapsto (x(t),y(t))$ uyğun olaraq $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$, $a\leq t\leq b$ şərti daxilində.

Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$ uyğun olaraq $\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.$

Polyar koordinat sistemində yolun uzunluğu

Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində $r(\varphi )$ şəklind təyin olunmuşsa, onda

$\varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}$ üçün $\varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )$

hasil qaydasından alınır

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi$ və

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi$, bununla

$\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )$.

Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:

$L=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi$.

Həmçinin bax

Uzunluq (Fizika)

Uzunluq (Cəbr)