VKB metodu

VKB metodu (Ventzel-Kramers-Brillüen) – Kvant mexanikasında kvaziklassik yaxınlaşmadır. Bu metod klassik trayektoriyalar, kvant spektri və dalğa funksiyası arasında əlaqə qurur, belə ki, dalğa funksiyası klassik təsir vasitəsilə ifadə olunur. Bu metod 1926-ci ildə bir-birindən asılı olmadan üç fizik Q.Ventzel, H.Kramers və L.Brillüenin tərəfindən inkişaf etdirildiyinə görə VKB metodu adını almışdır.

Şredinger tənliyini yazaq:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+U(x)\psi =E\psi$

Burada $U$ potensialının $x=0$ nöqtəsində minimumunun olduğu və bu nöqtədən uzaqlaşdıqca monoton artdığı nəzərdə tutulur. Belə potensialda $E$ enerjisinə malik klassik zərrəcik (maddi nöqtə) $U(x)=E$ tənliyinin həlləri olan $a$ və $b$ nöqtələri arasında periodik rəqs edəcək. Yeni dəyişənlər daxil edək

$k(x)={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}[E-U(x)]}}$

və Şredinger tənliyini yenidən yazaq:

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+k^{2}(x)\psi =0$

Dalğa funksiyasını aşağıdakı şəkildə göstərək:

$\psi (x)=A(x)\exp {[{\frac {i}{\hbar }}S(x)]}$

burada amplitud $A$ və eksponentin qüvvəti $S$ həqiqi nəzərdə tutulurlar. Sonuncu ifadəni Şredinger tənliyində nəzərə alsaq aşağıdakı diferensial tənlikləri alarıq:

$A(S')^{2}=Ap^{2}+\hbar ^{2}A''$

$S''A+2S'A=0$

burada $p(x)=\hbar k(x)$ lokal impulsdur. Alınmış tənliklər Şredinger tənliyinə tam ekvivalentdirlər. Kvaziklassik yaxınlaşmada $\hbar ^{2}A''$ həddi kiçik olduğu üçün atıla bilər (bu yazınlaşmasız qeyri-xətti Rikkati tənliyi dəqiq həll olunmur). Bu halda alınan ifadələri inteqrallamaq olur:

$S(x)=\int \limits _{x_{0}}^{x}{p(x)dx}$

$A={\frac {\psi _{0}}{\sqrt {|p(x)|}}}$

burada $S(x)$ klassik təsirə uyğun gəlir. Nəticədə kvaziklassik dalğa funksiyasını tapmış oluruq:

$\psi (x)={\frac {\psi _{0}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{x_{0}}^{x}{p(x)dx})}$

Təsvir olunan bu metod VKB metodu adlanır.

Xarici keçidlər

• [1] – S. C. Miller, Jr. and R. H. Good, Jr. A WKB-Type Approximation to the Schrödinger Equation Phys. Rev. 91, 174–179 (1953)
• [2] – Carl M. Bender, G. S. Guralnik, Martin L. Silverstein WKB approximation for quantum theory on a lattice Phys. Rev. D 20, 2583–2591 (1979)
• [3] – Abraham Klein and H. Arthur Weldon Equations of motion, variational principles, and WKB approximations in quantum mechanics and quantum field theory: Bound states Phys. Rev. D 17, 1009–1030 (1977)
• [4] – Gua Xiao-Yan and Sun Jian-Qiang Notes on Application of WKB Method Commun. Theor. Phys. 50 864-866 (2008)