n > 1 halı üçün "yarı açıq" n-ölçülü hiper dördbucaqlı T domeninin təyinatı:
T
=
[
a
1
,
b
1
)
×
[
a
2
,
b
2
)
×
⋯
×
[
a
n
,
b
n
)
⊆
R
n
.
{\displaystyle T=\left[a_{1},b_{1}\right)\times \left[a_{2},b_{2}\right)\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right)\subseteq \mathbf {R} ^{n}.}
Hər interval bölgüsü [a j b j j ailəsinin örtüşməyən alt intervalı olan ijα , ilə sol tərəfdən bağlı sağ tərəfdən isə açıqdır.
Beləliklə sonlu alt dördbucaqlı ailəsi olan C
C
=
I
1
×
I
2
×
⋯
×
I
n
{\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}
şəklində verilir və T `nin bir bölgüsüdür;alt dördbucaqlı Ck örtüşməyəndir və onların birləşməsi T `dir.
f : T → R , Tüzərində təyin olunan funksiyadır.Hesab edək ki T `nin hissəsi olan C, m ald dördbucaqlılar ailəsidir, Cm və
T
=
C
1
∪
C
2
∪
⋯
∪
C
m
{\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}
(n + 1) ölcülü həcmin Riman cəmi
∑
k
=
1
m
f
(
P
k
)
m
(
C
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}
Pk , Ck `da yerləşən nöqtədir və m(C k
S
=
lim
δ
→
0
∑
k
=
1
m
f
(
P
k
)
m
(
C
k
)
{\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})}
.
Əgər f Riman mənada inteqrallanandırsa, S ,T üzərində f funksiyasının Riman inteqralı adlanır və bu təyin olunur:
∫
⋯
∫
T
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
n
{\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
Bu ifadə adətən aşağıdakı formada ifadə olunur:
∫
T
f
(
x
)
d
n
x
.
{\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}
İkiqat inteqral bir dəyişənli inteqralla eyni xassələrə malikdir. (xəttilik, yerdəyişmə, monotonluq və s.). İkiqat inteqralın əsas vacib özəlliyi onun qiymətinin müəyyən şərt daxilindəki inteqralların quruluşundan aslı olmasıdır. Bu özəllik Fubin teoremi adlanır.
T ⊆ R2, halında, inteqral
l
=
∬
T
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}
f funksiyasının T üzərində ikiqat inteqralı, və if T ⊆ R 3 halında inteqral
l
=
∭
T
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}
f funksiyasının T üzərində üçqat inteqralı adlanır.
Sabit funksiyaların inteqrallanması Redaktə
İnteqral c sabit funksiyası olarsa, inteqral c ilə domenin ölşüsünün hasilinə bərabərdir.Əgər c = 1 və domen R 2 `nin alt sahəsi olarsa, inteqral həmin hissənin sahəsinəf R 3 `ün alt sahəsi olarsa,həcminə bərabər olar
Nümunə. f (x , y ) = 2 və
D
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
2
≤
x
≤
4
;
3
≤
y
≤
6
}
{\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}
o halda ki,
∫
3
6
∫
2
4
2
d
x
d
y
=
2
∫
3
6
∫
2
4
1
d
x
d
y
=
2
⋅
area
(
D
)
=
(
2
⋅
3
)
⋅
2
=
12
{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot {\mbox{area}}(D)=(2\cdot 3)\cdot 2=12}
tərifdən alırıq ki,
∫
3
6
∫
2
4
1
d
x
d
y
=
area
(
D
)
.
{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy={\mbox{area}}(D).}
Əgər D domeni x-oxuna nəzərən normaldırsa və f : D → R kəsilməz funksiyadırsa o zaman α (x ) və β (x ) ( [a , b ] intervalında təyin olunmuş) D domenini müəyyənləşdirən iki funksiyadır. Onda:
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
d
x
∫
α
(
x
)
β
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
.
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}
Əgər D domeni y-oxuna nəzərən normaldırsa və f : D → R əsilməz funksiyadırsa o zaman α (y ) və β (y ) ( [a , b ]intervalında təyin olunmuş) D domenini müəyyənləşdirən iki funksiyadır. Onda:
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
d
y
∫
α
(
y
)
β
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
.
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}
İkiqat inteqral Redaktə
A
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
11
≤
x
≤
14
;
7
≤
y
≤
10
}
and
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
4
y
{\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}
İkiqat inteqral
∫
7
10
∫
11
14
(
x
2
+
4
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}
x`dən aslı olan daxili inteqral birinci hesablanır və y sabit kimi qəbul olunur. Və sonda isə nəticə integral y`ə görə inteqrallanır.
∫
11
14
(
x
2
+
4
y
)
d
x
=
[
1
3
x
3
+
4
y
x
]
x
=
11
x
=
14
=
1
3
(
14
)
3
+
4
y
(
14
)
−
1
3
(
11
)
3
−
4
y
(
11
)
=
471
+
12
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}
Və nəticəni y`ə görə inteqrallayırıq:
∫
7
10
(
471
+
12
y
)
d
y
=
[
471
y
+
6
y
2
]
y
=
7
y
=
10
=
471
(
10
)
+
6
(
10
)
2
−
471
(
7
)
−
6
(
7
)
2
=
1719
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}
Nəzərə almaq lazımdır ki, inteqrallama sırası dəyişə bilər;
∫
11
14
∫
7
10
(
x
2
+
4
y
)
d
y
d
x
=
∫
11
14
[
x
2
y
+
2
y
2
]
y
=
7
y
=
10
d
x
=
∫
11
14
(
3
x
2
+
102
)
d
x
=
[
x
3
+
102
x
]
x
=
11
x
=
14
=
1719
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719\end{aligned}}}
Həcmin hesablanması Redaktə Yuxarıdakı metodları istifadə etməklə müxtəlif cisimlərin həcmini hesablaya bilərik.
Silindr : Oturacağı R radiuslu çevrə olan h hündürlüyə sahib silindrin həcm düsturu:
V
o
l
u
m
e
=
∫
0
2
π
d
φ
∫
0
R
h
ρ
d
ρ
=
2
π
h
[
ρ
2
2
]
0
R
=
π
R
2
h
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}
Bu həmçinin prizmanın həcm düsturuna da uyğundur
V
o
l
u
m
e
=
base area
×
height
{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}}
Sfera : R radiuslu sferanın həcmi sferik kordinatların köməyi ilə hesablana bilər:
Volume
=
∭
D
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
D
1
d
V
=
∭
S
ρ
2
sin
φ
d
ρ
d
θ
d
φ
=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
π
sin
φ
d
φ
∫
0
R
ρ
2
d
ρ
=
2
π
∫
0
π
sin
φ
d
φ
∫
0
R
ρ
2
d
ρ
=
2
π
∫
0
π
sin
φ
R
3
3
d
φ
=
2
3
π
R
3
[
−
cos
φ
]
0
π
=
4
3
π
R
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}
Tetraedr . Tetraedrin həcm düsturu:
Volume
=
∫
0
l
d
x
∫
0
l
−
x
d
y
∫
0
l
−
x
−
y
d
z
=
∫
0
l
d
x
∫
0
l
−
x
(
l
−
x
−
y
)
d
y
=
∫
0
l
(
l
2
−
2
l
x
+
x
2
−
(
l
−
x
)
2
2
)
d
x
=
l
3
−
l
l
2
+
l
3
3
−
[
l
2
x
2
−
l
x
2
2
+
x
3
6
]
0
l
=
l
3
3
−
l
3
6
=
l
3
6
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}\,dy\int _{0}^{l-x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}(l-x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{l}\left(l^{2}-2lx+x^{2}-{\frac {(l-x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=l^{3}-ll^{2}+{\frac {l^{3}}{3}}-\left[{\frac {l^{2}x}{2}}-{\frac {lx^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{l}\\&={\frac {l^{3}}{3}}-{\frac {l^{3}}{6}}={\frac {l^{3}}{6}}\end{aligned}}}
Bu həmçinin piramidanın həcm düsturuna uyğundur
V
o
l
u
m
e
=
1
3
×
base area
×
height
=
1
3
×
l
2
2
×
l
=
l
3
6
.
{\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {l^{2}}{2}}\times l={\frac {l^{3}}{6}}.}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e379a90e5e09f77929215570fd91403ed6369fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0be5e82a2ea1d74e5c4855cda9e3cc1a983a64c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103c61ff9c83323a6559dcad89837567057ace71)
![{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175b2407b091e6319ed5f8d9b7b3165d611f2114)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be398a13123b1ce86d7c6c2c95b4eca73d8fadf1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}\,dy\int _{0}^{l-x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}(l-x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{l}\left(l^{2}-2lx+x^{2}-{\frac {(l-x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=l^{3}-ll^{2}+{\frac {l^{3}}{3}}-\left[{\frac {l^{2}x}{2}}-{\frac {lx^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{l}\\&={\frac {l^{3}}{3}}-{\frac {l^{3}}{6}}={\frac {l^{3}}{6}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7dc7fd27ea87ac7d1a7df14a09978fa2479d798)
