Parabola

Parabola, onun fokus məsafəsi və direktrisası

Kəsik konus:
Eksentrisitet:	$~\textstyle e=1$
Bərabərlik:	$~\textstyle y^{2}=2px$
Hiperbola · Parabola · Ellips · Çevrə

Parabola (yun. παραβολή, tətbiq) — kvadratik funksiyanın (y = x²) qrafikinə verilən addır. Parabola Hiperbolanın tərsidir. Parabola dedikdə müstəvinin elə nöqtələrinin həndəsi yeri başa düşülür ki, bu nöqtələrin müstəvinin verilmiş düz xəttindən və verilmiş nöqtəsində olan məsafələri bir-birinə bərabər olsun. Müstəvinin verilmiş bu düz xəttinə parabolanın direktirisi, verilmiş nöqtəsinə isə parabolanın fokusu deyilir. Parabolanın fokusunu adətən $F$ ilə işarə edirlər.

Bərabərlik

Düzxətli koordinat sistemi üzərində Parabolanın kanonik şəkli aşağıdakı kimidir:

~\textstyle y^{2}=2px,p>0

(ya da

~\textstyle x^{2}=2py

, əgər uc nöqtələrinin yernini dəyişdirsək).

Nəticə

Direktrisanın bərabərliyi: $~PQ$ : $~\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ , fokus — $~\textstyle F\left({\frac {p}{2}};0\right)$ , buna əsasən koordinat başlanğıcı: $~O$ — mərkəzin kəsiyi $~CF$ . Parabolanın $~M$ üçün tapılmış müxtəlif nöqtəsində, üzərində yerləşən bərabərlik alınır: $~KM=FM$ . $~\textstyle KM=KD+DM={\frac {p}{2}}+x$ və $~\textstyle FM={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}$ , onda bərabərlik aşğıdakı görünüşünü alır:

~{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x

. Bərabərliyi müxtəlif cür hesabladıqdan sonra eynigüclü bərabərlik alınır:

~y^{2}=2px

.

Kvadrat tənlik: $~y=ax^{2}+bx+c$ при $~a\neq 0$ həmçinin, parabolanın и qrafikini əks etdirir, bu düstur kimi: $~y=ax^{2}$ , ancaq birinci bərabərlik ikinci bərabərlikdən ona görə fərqlənir ki, birinci bərabərliyin başlanğıcı koordinat başlanğıcı üzərində deyildir. $~A$ -nın müxtəlif nöqtələri üçün koordinat aşağıdakı düsturla hesablanır:

~x_{A}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{A}=-{\frac {D}{4a}},

haradakı:

D=b^{2}-4ac

— Diskriminant. Həmçinin:

~y=ax^{2}+bx+c

kvadratik tənliyi

~y=a(x-x_{A})^{2}+y_{A}

bu şəkildə də göstərilə bilər. Əgər

~A

nöqtəsi koordinat siteminin başlanğıcı üzərində olarsa kanonik şəkildə göstərilə bilər. Bu zaman:

p={\frac {1}{|2a|}}

ifadəsi meydana çıxır.

Kvadrat tənliyinin əmsallarının hesablanması

Əgər $~y=ax^{2}+bx+c$ tənliyi üçün tapılmış üç nöqtə üçün $~(x_{1};y_{1})$ , $~(x_{2};y_{2})$ , $~(x_{3};y_{3})$ ifadələr alınarsa, onda kvadrat tənliyinin əmsallarını aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

$~a={\frac {y_{3}-{\frac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}$

Digər bərabərliklər

Şaquli simmetriyanın ucları

(x-h)^{2}=4p(y-k)\,

y={\frac {(x-h)^{2}}{4p}}+k\,

y=ax^{2}+bx+c\,

haradakı:

a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \

h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

. Parametrik forması:

x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,

Üfüqi simmetriyanın ucları

(y-k)^{2}=4p(x-h)\,

x={\frac {(y-k)^{2}}{4p}}+h;\ \,

x=ay^{2}+by+c\,

haradakı:

a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \

h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}

. Parametrik forması:

x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,

Baş parabola

Parabola üçün ümumi düstur aşağıdakı kimidir:

(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma x+\delta y+\epsilon =0\,

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,

və aşağıdakı kimi ifadə üçün doğrudur,

B^{2}=4AC\,

.

Baş parabola üçün fokus tənliyi: F(u, v), və a direktriks üçün düstur:

ax+by+c=0\,

is

{\frac {\left(ax+by+c\right)^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}\,

Qauss xəritəsinin forması

Qauss xəritəsinin forması aşağıdakı kimidir: $(\tan ^{2}\phi ,2\tan \phi )$ tənliyin ifadəsi aşağıdakı ifadə kimi eynigüclüdür: $(\cos \phi ,\sin \phi )$ .

Polyar koordinatda parabola

Polyar koordinatda olan parabola üçün aşağıdakı bərabərliklər vardır:

r(\varphi )=4a{\frac {\cos(\varphi )}{\sin ^{2}(\varphi )}}\quad \ \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}.

$(a,0)$ .

r(\varphi )={\frac {2a}{1-\cos(\varphi )}}\quad \ \varphi \neq 2\pi k.

Fəzada Parabola

Bir sıra kosmik cisimlərin trayektoriyası (kometlər, asteroidlər və s.) böyük sürətlə parabolaya oxşayırlar. Parabola konus ailəsinin bir hissəsinə aiddir. Parabolanın formasından bir sıra arxitekturada istifadə edilir.