Bütöv mühit mexanikası

Bütöv mühit mexanikası mexanikanın bir bölməsi olub materialların mexaniki xassəsini və kinematik analizini öyrənir. Materiallar diskret paylanmış hissəciklər şəklində yox, bütöv (arasıkəsilməz paylanmış) kütlə şəklində modelləşdirilir. Belə bir model ilk dəfə XIX əsrdə Fransız riyaziyyatçısı Auqusto Koşi (fr. Augustin Louis Cauchy) tərəfindən ifadə edilmişdir, amma tədqiqatlar bugün də davam etdirilir.

Bütöv mühit mexanikası
Diaqram Bernulli qanunundan istifadə etməklə bir çıxarısı göstərir
Tarixi

Qısa şərhRedaktə

Klassik mexanika
 
Nyutonun ikinci qanunu
Tarixi

Bir obyektin bütöv cisim şəklində modelləşdirilməsi dedikdə obyekti təşkil edən cismin obyektin tutduğu fəzanı tamamilə doldurması fərziyyəsi nəzərdə tutulur. Obyektin belə modelləşdirilməsi maddənin atomlardan təşkil olunmasını və beləliklə bütöv olmamasını nəzərə almır. Buna baxmayaraq atomlar arası məsafələrdən qat-qat böyük ölçü miqyaslarında belə modellər olduqca dəqiqdir. Belə obyektlərin xassəsini təsvir edən differensial tənliklərin çıxarılması üçün kütlənin saxlanması, momentin saxlanmasıenerjinin saxlanması kimi özül fizika qanunlarını belə modellərə tətbiq etmək olar.

Bütöv mühit mexanikası bərk, maye və qazların fiziki xassələrini onların müşahidə edildiyi istənilən xüsusi koordinat sistemindən asılı olmadan öyrənir. Beləliklə, bu fiziki xassələr tenzorlarla ifadə edilir ki, tenzorlar tələb olunan xassəyə malik riyazi predmet olub koordinat sistemindən asılı deyildir. Bu tenzorlar hesablamanı asanlaşdırmaq üçün koordinat sistemləri ilə də ifadə oluna bilər.

AnlayışRedaktə

Bərk, maye və qazlar kimi materiallar "boş" fəza ilə bir-birindən ayrılmış molekullardan təşkil olunub. Mikroskopik ölçüdə, materiallarda çatlar və kəsilmələr (materialın bütöv və davamlı olmaması, onlarda qüsurların olması nəzərdə tutulur) mövcuddur. Buna baxmayaraq, müəyyən fiziki hadisələr "bütöv mühit - cisimdəki maddə miqdarı kəsilməz yayılmışdır və cismin tutduğu fəzanı tamamilə doldurur deməkdir" fərziyyəsi qəbul olunmaqla modelləşdirilə bilər. Bir bütöv mühit elə bir cisimdir ki, o davamlı olaraq çox kiçik elementlərə bölündükdə belə, bu kiçik hissəciklər əsas cismin xassələrini özündə saxlayır.

Bütöv mühit mexanikasının əsas sahələriRedaktə

Bütöv mühit mexanikası
Bütöv (kəsilməz) materialların fizikasını öyrənən elm
Bərk cisim mexanikası
Müəyyən olunmuş dayanıqlı formaya malik bütöv materialların fizikasını öyrənən elm.
Elastiklik
Tətbiq olunmuş gərginliklər götürüldükdən sonra materialın dayanıqlı vəziyyətinə qayıtmasını təsvir edir.
Plastiklik
Kifayət həddə qüvvə tətbiq edildikdə qalıq deformasiyaya uğrayan materialları təsvir edir.
Reologiya
Bərk və maye xüsusiyyətinə malik materialları öyrənən elm .
Hidromexanika
Qüvvə tətbiq olunduqda formasını dəyişən bütöv materialların fizikasını öyrənən elm.
Qeyri-Nyuton mayeləri tətbiq olunmuş kəsici gərginliyə mütənasib olaraq nisbi deformasiya tezliyinə məruz qalmır.
Nyuton mayeləri tətbiq olunmuş kəsici gərginliyə mütənasib olaraq nisbi deformasiya tezliyinə məruz qalır.

Modelin ifadə olunmasıRedaktə

 
Şəkil 1. Bütöv cismin konfiqurasiyası

Bütöv mühit mexanikası modeli, modelləşdiriləcək material cisim  -nin üç-ölçülü Evklid fəzasında müəyyən bir sahədə yerləşdirilməsi ilə başlanır. Həmin sahədəki nöqtələr, hissəciklər və ya material nöqtələri adlandırılır. Deformasiyaya uğrayan cisim Evklid fəzasında ilkin yerləşmə sahəsindən yerini dəyişməyə başlayır. Deformasiyanın hər anında cismin fəzada tutduğu hər bir sahə bu cismin konfiqurasiyası və ya halı adlandırılır.   zamanında cismin konfiqurasiyasına uyğun sahə   ilə işarələnir.

Cisim daxilindəki hər hansı bir hissəciyin müəyyən bir konfiqurasiyada vəziyyəti radius-vektoru ilə ifadə edilir

 

Burada   həll olunacaq məsələ üçün təyin olunmuş hesablama sistemində koordinant vektorlarıdır (Bax şəkil 1). Bu vektor eyni zamanda həmin hissəciyin hər hansı bir seçilmiş istinad konfiqurasiyasında (adətən cismin deformasiya olunmamış ilkin yerləşmə konfiqurasiyası istinad və ya (hərəkətin və ya processin) başlanğıc konfiqurasiyası kimi seçilir) vəziyyəti (koordinantları)  -in funksiyası kimi ifadə edilə bilər, belə ki

 

Bu funksiya fiziki məna verməsi üçün müxtəlif xassəllərə malik olmalıdır.  :

  • zamanda kəsilməzdir, yəni cisimin dəyişməsi reallığı əks edirir,
  • istənilən bütün zaman kəsiyində tərs funksiyasına malikdir, yəni cisimdə heç bir hissəcik yox olmur və ya yenisi yaranmır (riyazi olaraq bu, hissəciklərin deformasiya olunmuş və deformasiya olunmamış konfiqurasiyalarda birin-birə əlaqələrinin olmasını nəzərdə tutur),
  • dəyişməz oriyentasiyalıdır, yəni təbiətdə heç bir tansformasiya cisimdə güzgü əksi yaratmır.

Modelin riyazi ifadəsi üçün,  -nin iki dəfə kəsilməz differensiallanan olması fərz olunur, bununla da cismin hərəkətini təyin edən differensial tənliklər ifadə oluna bilər.

Bütöv mühitdə qüvvələrRedaktə

Bütöv mühit mexanikası mütləq bərk cisminlərin əksinə deformasiya olunan cisimlərlə məşğuldur. Bərk cisim deformasiya oluna bilən cisim olub kəsici müqavimətə, yəni kəsici qüvvələrə (cismin səthinə parallel təsir göstərən qüvvə nəzərdə tutulur) qarşı müqavimətə, malikdir. Anacaq mayelər belə müqavimətə malik deyillər. Maye və bərk cisimləri tədqiq etmək üçün onların bütöv olması fərz olunur, yəni onların həcimlərinin, tutduqları fəzanın bütün sahəsini doldurması nəzərdə tutulur. Ona görə də, bötov mühit mexanikasında cisimdəki nöqtə və ya hissəcikdən danışıldıqda bu hər hansı bir atom hissəciyi və ya atom miqyasında bir nöqtə deyil, bu nöqtəni əhatə edən cismin ideallaşdırılmış bir hissəsi nəzərdə tutulur.

NyutonEyler-in klassik dinamikasına əsaslanaraq, bir maddi cismin hərəkəti ona tədbiq olunmuş xarici qüvvələrin təsirindən yaranır. Bu qüvvələrin iki cür: səthi qüvvələr   və həcmi qüvvələr   olması fərz olunur. [1] Beləliklə, cisimə və ya onun bir hissəsinə tədbiq edilmiş yekun qüvvə   belə ifadə oluna bilər:

 

Səthi qüvvələrRedaktə

Səthi qüvvələr və ya təmas qüvvələri vahid sahəyə düşən qüvvə kimi ifadə olunur. Bu qüvvələr ya bir cismin başqa cisimlərlə təması nəticəsində onun sərhəd səthinə, ya da bir cismin hissələri arasındakı mexaniki qarşılıqlı təsiri nəticəsinə təsir səthinin hər iki tərəfinə təsir göstərə bilər. Bir cismə xarici təmas qüvvələri təsir etdikdə, bu zaman daxili təmas qüvvəlləri Nyutonun üçüncü hərəkət qanuna və eləcədə bucaq momentinin və xətti momentin saxlanması qanunlarına görə cisim daxilində nöqtədən nöqtəyə ötürülməklə müvazinətləşir (bütöv mühit mexanikasında bu qanunlar Eylerin hərəkət qanunları adlandırılır). Daxili təmas qüvvələri, material tənlikləri (materialın fiziki xarakteristikasını məs. elatiklik, plastiklik və s. təyin edən tənliklər) vasitəsilə cismin deformasiyası ilə əlaqələndirilir.[2]

Daxili qüvvələrin cismin bütün həcmində kəsilməz olaraq yayılması fərz edilir. Beləliklə, daxili qüvvələr təmas qüvvə sıxlığı və ya Koşi dartma sahəsi   ilə ifadə edilə bilər. Koşi dartma sahəsi  , daxili qüvvələrin yayılmasını müəyyən bir konfiqurasiya üçün müəyyən bir   zamanında təmsil edir. Bu sahə ancaq material nöqtəsinin yeri  -dən asılı deyil eyni zamanda səth elementinin yerli (lokal) orientasiyası  -dən ("yerli orientasiya"   sahəsinin  -dəki orientasiyasını bildirir) də asılıdır. Ona görə də, bu sahə vektor sahəsi deyildir.[3]

Verilmimş bir daxili   səthinin hər hansı   normal vektoruna malik differensial   sahəsi differensial   təmas qüvvəsinə məruz qalır. Bu qüvvə, cismin   səthinin hər iki tərəfindəki hissələri arasındakı təmasının nəticəsindən yaranır və belə ifadə olunur

 .

Burada   səthi dartqı,[4] və ya gərginlik vektoru, [5], dartqı,[6] və ya dartma vektoru.[7] adlandırılır. Gərginlik vektoru koordinat sisteminin dəyişməsinə nəzərən invariantdır.

Xüsusi səthdəki yekun təmas qüvvəsi   bütün differensial səthlərdəki   təmas qüvvələrinin cəmi (sahə inteqralı) kimi ifadə edilir:

 

Bütöv mühit mexanikasında bir cisim o halda gərginliksiz hesab edilir ki, yeganə mövcud qüvvəllər atomlar arası (ionik, metalik, və Van-der-Vaals) qüvvələrdir ki, bu qüvvələr də bütün xarici təsirlərin (yerin cazibə qüvvəsi də bura daxildir) yoxluğunda, cismin özünü saxlaması və formasını qoruması üçün vacibdir.[7][8] Cismin istehsalı zamanı yaranan gərginliklər də, hesablanma zamanı istisna edilir. Beləliklə, bütöv mühit mexanikasında gərginliklər adətən qəbul olunmuş ilkin konfiqurasiyaya nəzərən deformasiyanın yaratdığı gərginlikləri nəzərdə tutur. Başqa sözlə, cisimdəki gərginliyin mütləq (gerçək) qiymətinə deyil, yalnız gərginlikdəki nisbi dəyişmələrə baxılır.

Əsas tənliklərRedaktə

Bütöv mühit mexanikası materialların xassələri ilə məşğul olur ki, onlar müəyyən uzunluq və zaman miqyasları üçün kəsilməz olaraq təqribi hesablana bilər. Materialların mexanikasını təyin edən belə tənliklərə kütlə, momentenerji üçün müvazinət (balans və ya saxlanma) qanunları daxildir. Əsas (idarəedici) tənliklər sistemini tamlamaq üçün kinematik asılılıqlar və material tənlikləri lazım gəlir. Material asılılıqları formasına fiziki məhdudiyyətlər termodinamikanın ikinci qanunu-nun bütün şərtlərdə təmin edilməsi tələbi ilə tətbiq edilə bilər. Bərk cisimlərin bütöv mühit mexanikasında, əgər entropiya bərabərsizliyi Clausius–Duhem şəklində təmin edilmişdirsə, termodinamikanın ikinci qanunu təmin edilmiş hesab olunur.

Müvazinət qanunları vahid həcmdə bir kəmiyyətin (kütlə, moment, enerji) dəyişmə tezliyinin üç səbəbdən yaranması ideyasını ifadə edir:

  1. fiziki kəmiyyət özlüyündə həcmi hüdudlandıran (sərhədləndirən) səthindən axır,
  2. həcmin səthində fiziki kəmiyyətin qaynağı (mənbəyi) mövcuddur, yaxud/və,
  3. həcm daxilində fiziki kəmiyyətin qaynağı vardır.

Gəlin,   ilə cisimi (Evkilid fəzasında bir açıq altçoxluq) və   ilə isə onun səthini ( -nın sərhəddi) göstərək.

Cisim daxilindəki material nöqtələri aşağıdakı tənliklə deformasiya olunur

 

burada,   başlanğıc konfiqurasiyada hər hansı bir nöqtənin vəziyyətini (yerini) və   isə deformasiya olunmuş konfiqurasiyada nöqtənin yerini göstərir.

Deformasiya qradiyenti verilir

 


Saxlanma qanunlarıRedaktə

Qoy   cisim daxilində axaran hər hansı bir fikiki kəmiyyət olsun. Eləcə də gəlin  -lə cismin səthindəki qanaqları,  -lə isə daxilindəki qaynaqları işarələyək. Gəlin  -in cismin   səthinin vahid normalını işarələməsini qəbul edək.   isə axan fiziki kəmiyyəti özləri ilə daşıyan fiziki hissəciklərin axın sürətini nəzərdə tutur. Eyni   hərəkət sürəti   (  istiqamətində) işarələnir.

Onda, saxlanma qanunları aşağıdakı ümumi formada ifadə edilə bilər

 

Nəzər alın ki,  ,  , və   funksiyaları skalyar, vektorial və ya tenzorial qiymətli funksiyalar ola bilər ki, bu da saxlanma qanununa daxil olan fiziki kəmiyyətdən asılıdır. Əgər cisimdə daxili sərhədlər, sıçrayışlı kəsilmələr olarsa, onlar da saxlanma qanunlarında nəzərdə tutulmalıdır.

Əgər biz Eyler nöqteyi nəzərdən çıxış etsək, kütlə, moment, bucaq momenti və enerji üçün saxlanma qanunlarının aşağıdakı şəkildə olacağını göstərmək olar (kütlə və bucaq momenti üçün qaynaq həddlərin sıfır olduğu fərz olunur)

 


İstinad konfiqurasiyasına (Laqranj nöqteyi nəzərdən) nəzərən, saxlanma qanunları aşağıdakı kimi yazıla bilər

 

QeydlərRedaktə

  1. Smith & Truesdell p.97
  2. Slaughter
  3. Lubliner
  4. Liu
  5. Wu
  6. Fung
  7. 1 2 Mase
  8. Atanackovic

MənbələrRedaktə

  • Batra, R. C. (2006). Elements of Continuum Mechanics. Reston, VA: AIAA.
  • Eringen, A. Cemal (1980). Mechanics of Continua (2nd edition). Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-663-X.
  • Dimitrienko, Yuriy (2011). Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Germany: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
  • Fung, Y. C. (1977). A First Course in Continuum Mechanics (2nd). Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-318311-4.
  • Gurtin, M. E. (1981). An Introduction to Continuum Mechanics. New York: Academic Press.
  • Malvern, Lawrence E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
  • Maugin, G. A. (1999). The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors: An Introduction. Singapore: World Scientific.
  • Wright, T. W. (2002). The Physics and Mathematics of Adiabatic Shear Bands. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Xarici linkRedaktə