Kompleks analiz

Kompleks analiz, mürəkkəb dəyişənlərin funksiyalarını öyrənən riyaziyyat sahəsidir. Bu sahə ənənəvi olaraq kompleks dəyişənlərin funksiyaları nəzəriyyəsi kimi də tanınır. Kompleks analiz, ədədlər nəzəriyyəsi, tətbiqi riyaziyyat və fizika daxil olmaqla, riyaziyyatın müxtəlif sahələrində tətbiq olunur. Bununla yanaşı, onun tətbiq sahələri bu ilə məhdudlaşmır.

f ( x )=( x ² -1)( x -2- i ) ² /( x ² +2+2 i ) funksiyasının qrafiki. Rəng mahiyyət funksiyasının arqumentini təmsil edərkən, doyma böyüklüyünü təmsil edir.

Kompleks analiz, xüsusilə mürəkkəb dəyişənlərin analitik funksiyaları ilə bağlıdır və bu funksiyalar ümumiyyətlə iki əsas sinifə ayrılır: holomorf funksiyalar və meromorfik funksiyalar. Kompleks analiz, ikiölçülü fizika problemlərində geniş şəkildə tətbiq oluna bilər, çünki hər bir analitik funksiyanın real və xəyali hissələri Laplas tənliyini təmin etməlidir.

Tarixi

Mandelbrot dəsti, fraktal .

Kompleks analiz, 19-cu əsrdən kök salmış bir riyaziyyat sahəsidir, lakin mürəkkəb ədədlərin istifadəsi ilə bağlı düşüncələr 11-ci əsrə və hətta daha əvvəllərə qədər uzanır. Kompleks ədədlərin ilk tətbiqləri 16-cı əsrə, xüsusən də Kardano tərəfindən ikinci və üçüncü dərəcəli tənliklərin həlli zamanı ortaya çıxmışdır. 18-ci və 19-cu əsrlərdə kompleks ədədləri əhatə edən funksiyaları kəşf edən ilk alimlərdən biri Eyler olmuşdur. Kompleks ədədləri ilə bağlı texnikaların inkişafı, real qiymətli funksiyalar nəzəriyyəsində bir çox məsələlərin kompleks ədədlər vasitəsilə daha asan həll olunduğunu göstərmişdir. Bununla yanaşı, kompleks ədədlər hələ də tam olaraq qəbul edilməmişdir. Məsələn, Dekart mürəkkəb kökləri rədd edir və onlara "xəyali" adını vermişdir. Eyler də kompleks ədədlərin "yalnız təsəvvürdə mövcud olduğu" qənaətində idi və mürəkkəb köklərin tənliyin əslində heç bir kökünün olmadığını göstərmək üçün faydalı olduğunu düşünürdü.

Kompleks ədədlərin ümumi qəbulu və kompleks analizin yaranması əsasən Qaussun həndəsi təsviri və kompleks ədədlərin inkişafı ilə başlamışdır. Qaussun işindən sonra kompleks analiz riyaziyyatın yeni və məşhur bir sahəsi kimi formalaşdı və Koşi, Veyerştras və Rieman kimi dövrün məhsuldar riyaziyyatçılarının töhfələri ilə bir çox digər riyazi sahələrlə əlaqələndirilmişdir. Lakin, kompleks analizin yeni sahə kimi yaranmasına baxmayaraq, kompleks ədədlərin ilk tam və riyazi dəqiq ifadəsini Qaussun müasiri Hamilton təqdim etmişdir.

Ənənəvi olaraq, kompleks analiz, xüsusilə açıq istinadlar nəzəriyyəsi ilə, fizikada çoxsaylı tətbiqlərə malikdir. Kompleks analiz həmçinin analitik ədədlər nəzəriyyəsində istifadə olunur. Müasir riyaziyyatda kompleks analiz, fraktal şəkillərin meydana çıxması ilə tanınmışdır; bunlar mürəkkəb dinamika və holomorf funksiyaların təkrarlanması nəticəsində yaranır (bunlardan ən məşhuru Mandelbrot dəstidir). Kompleks analizin müasir vacib tətbiqlərindən biri, açıq-invariant kvant sahə nəzəriyyəsi olan simli nəzəriyyədir. Həmçinin, mühəndislik sahələrində, xüsusilə güc mühəndisliyində, kompleks analiz geniş şəkildə istifadə olunur və tətbiq olunur.

Əhəmiyyəti

Kompleks təhlilin iki əsas əhəmiyyəti və faydası vardır. Birincisi, bu sahə mürəkkəb ədədlərin hesablanması ilə bağlı riyaziyyatın bir uzantısı kimi tanınır. İkincisi, kompleks analiz, real təhlildə geniş yer tuta bilən bir çox problemi unikal üsulları ilə daha qısa və sadə şəkildə həll etməyə imkan tanıyır.

Kompleks funksiyalar

Mürəkkəb funksiya, həm müstəqil dəyişənin, həm də asılı dəyişənin kompleks ədədlər olduğu funksiyadır. Başqa sözlə, kompleks funksiya, domeni kompleks müstəvinin alt çoxluğu və təsvir dəsti də kompleks müstəvinin alt çoxluğu olan bir funksiyadır. Hər bir mürəkkəb funksiyada, həm müstəqil dəyişən, həm də asılı dəyişən, həqiqi və xəyali hissələrə bölünə bilər.

\( x \) və \( y \) real ədədlər olmaqla, \( u(z) \) və \( v(z) \) real qiymətli funksiyalar olaraq qəbul edilir. Burada \( z = x + iy \) və \( w = f(z) = u(z) + iv(z) \) kimi yazılır. Başqa sözlə, \( f(z) \) funksiyasının komponentləri olan \( u = u(x, y) \) və \( v = v(x, y) \) iki real dəyişənin—yəni \( x \) və \( y \)—real qiymətli funksiyaları kimi şərh edilə bilər.

Kompleks analizin əsas anlayışları tez-tez eksponensial, loqarifm və triqonometrik funksiyalar kimi real analizin elementar funksiyalarının kompleks müstəvilərdə genişləndirilməsi ilə əldə edilir.

Törəmələr və Koşi-Riman tənlikləri

Həqiqi analizdə olduğu kimi, "hamar" kompleks funksiya, deyək ki, w = f ( z ) Ω sahəsində müəyyən bir nöqtədə törəmə ola bilər. Əslində törəmənin tərifi belədir

$f^{\prime }(z)={\frac {dw}{dz}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,$

Bir mühüm fərq istisna olmaqla, kompleks analizdə limitin tərifi real vəziyyətdə olduğu kimi qalır. Həqiqi analizdə limit yalnız bir ölçülü ədəd xətti boyunca hərəkət etməklə yaxınlaşmaq mümkündür. Lakin kompleks analizdə limitə iki ölçülü kompleks müstəvidə istənilən istiqamətdən yaxınlaşmaq olar. Bu fərqi istiqamətli törəmələrlə qarışdırmaq olmaz. İstiqamətli törəmələrdə bir ölçülü x xəttində hərəkət etmək mümkündür, lakin bu, diskret vahidlərdə, məsələn, \( y = x^2 \) əyrisi boyunca hərəkət etmək deməkdir; bu, müstəvidə (ölçülü x xəttinin əvəzinə) hərəkət etmək deyil, ona addımlarla yaxınlaşmaqdır.

Əgər bir hədd, yəni törəmə, \( \Omega \) sahəsində hər \( z \) nöqtəsi üçün mövcuddursa, onda \( f(z) \) \( \Omega \) sahəsində diferensiallana bilən funksiyadır. Hər bir diferensiallaşan \( f(z) \) funksiyasının da analitik olduğu sübuta yetirilə bilər. Bu nəticə, həqiqi ədədlərin real qiymətli funksiyaları üçün sübut edilmiş teoremdən daha güclüdür. Həqiqi ədədlərin hesablamasında biz \( f(x) \) funksiyasını qura bilərik ki, onun sahəsində hər yerdə birinci törəməsi var, lakin yalnız bir və ya bir neçə nöqtəsində ikinci törəməsi yoxdur. Lakin, əgər kompleks müstəvidə müəyyən edilmiş kompleks funksiya müəyyən qonşuluqda diferensiallana bilirsə, o, eyni qonşuluqda sonsuz dəfə diferensiallana bilər. (Sübut üçün holomorf funksiyaların analitikliyinə baxın.)

f ( z ), deyək u ( x, y ) və v ( x, y ) təşkil edən iki real funksiyanın qismən törəmələrini hesablamaq üçün vektor hesabı üsullarını tətbiq etməklə və Ω-də z nöqtəsinə aparan iki yolu nəzərə alaraq, mövcudluq törəmə

$f^{\prime }(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}.\,$

Bu ifadənin doğru olduğunu göstərmək olar.

Bu iki ifadənin həqiqi və xəyali hissələrini bərabərləşdirməklə Koşi-Riman tənliklərinin ənənəvi formulunu əldə edirik:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$ və ya başqa bir ümumi qeyddə, $u_{x}=v_{y}\qquad u_{y}=-v_{x}.\,$

Bu iki qismən diferensial tənliklər sistemi əvvəlcə x- ə, sonra isə y- ə görə diferensiallaşdırılarsa, aşağıdakı ifadələri asanlıqla göstərmək olar:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0\,$ və ya başqa bir ümumi qeyddə, $u_{xx}+u_{yy}=v_{xx}+v_{yy}=0.\,$

Başqa sözlə, kompleks dəyişənlərin diferensiallana bilən funksiyasının həqiqi və xəyali hissələri harmonik funksiyalardır .

Həmçinin bax : Laplas tənliyi

Holomorf funksiyalar

Holomorf funksiyalar kompleks müstəvinin açıq alt çoxluğunda fərqlənən mürəkkəb funksiyalardır. Kompleks diferensiallaşma adi real diferensiallaşmadan daha güclü nəticələrə malikdir. Məsələn, bütün real diferensiallanan funksiyalar sonsuz diferensiallana bilmir, holomorf funksiyalar isə sonsuz diferensiallana bilir. Əksər elementar funksiyalar, o cümlədən eksponensial funksiya, triqonometrik funksiyalar və bütün çoxhədlilər holomorfdur.

Ayrıca bakınız: analitik fonksiyon, holomorf demet ve vektör demetleri.

Əsas nəticələr

Kompleks analizin nəticələrini bir neçə qrupa bölmək olar. Baxmayaraq ki, hər bir qrupun nəticəsi öz qrupundakı müvafiq nəticələrdən məcmu şəkildə faydalanan mühüm nəticələri ehtiva edir; Lakin bu qrupların hər biri müəyyən əsas nəticələr vasitəsilə bir-biri ilə bağlıdır və bəzi mühüm nəticələr bu əsas qruplara əsaslanır.

İnteqral təsvirlər üzrə nəticələr

Kompleks analizdə mühüm mərkəzi vasitələrdən biri əyrixətti inteqraldır . Bu qapalı yol üzərində qapalı yol ilə məhdudlaşan sahənin hər yerində holomorf olan funksiyanın inteqralı sıfırdır. Bu ifadə həm də Koşi inteqral teoremi kimi tanınır. Dairəvi sahədə (disk) holomorf funksiyanın dəyərləri bu diskdə müəyyən bir əyri (yolu) birləşdirməklə hesablana bilər. Bu ifadə Koşi inteqral düsturu kimi də tanınır.

Həmçinin bax : Morera teoremi

Seriya təmsilləri üzrə nəticələr

Qarışıq real inteqralları həll etmək və müəyyən etmək üçün kompleks müstəvidə əyrixətti inteqrallardan tez-tez istifadə olunur və burada da qalıq nəzəriyyəsi digər nəzəriyyələr arasında ən faydalıdır (bax : Kontur inteqral üsulları ). Əgər funksiyanın müəyyən bir nöqtədə qütbü və ya təkliyi varsa, yəni funksiyanın qiymətləri bu nöqtədə qəfil partlayırsa və ya sonlu qiymət almırsa, onda bu funksiyanın bu nöqtədə qalığını hesablamaq olar. bu qütbdə və bu qalıqlar funksiyaya aid əyrixətti inteqralları hesablamaq üçün istifadə edilə bilər. Bu qalıq teoreminin güclü tərəfidir. Əsas təkliklərin yaxınlığında holomorf funksiyaların davranışı Weierstrass-Casorati teoremi ilə müəyyən edilir. Yalnız qütbləri olan, lakin əsas təkliyi olmayan funksiyalara meromorf funksiyalar deyilir. Laurent seriyaları Taylor seriyasına bənzəyir və təkliklərə yaxın funksiyaların davranışını öyrənmək üçün istifadə olunur.

Bütün kompleks müstəvidə holomorf olan məhdud funksiya sabit olmalıdır. Bu ifadə Liouville teoremi kimi tanınır. Bu teorem mürəkkəb ədədlər sahəsinin cəbri olaraq qapalı olduğunu bildirən Cəbrin əsas teoreminin təbii və qısa sübutuna gəlmək üçün istifadə edilə bilər.

Riemann səthlərində nəticələr

$f(z)={\sqrt {z}}$ Rieman funksiyasının səthi

Holomorf funksiyaların başqa bir mühüm xüsusiyyəti odur ki, sadəcə əlaqəli bölgədə holomorf olan funksiyanın dəyərləri tamamilə daha kiçik subregionlardakı dəyərlərlə müəyyən edilə bilər. Böyük bölgədəki funksiya, kiçik bölgədəki funksiyanın qiymətlərinin analitik davamı adlanır. Bu , əvvəlcə yalnız məhdud bir bölgədə birləşən sonsuz cəmlər kimi müəyyən edilmiş Riemann zeta funksiyası kimi bəzi funksiyaların təriflərini demək olar ki, bütün kompleks müstəvidə genişləndirməyə imkan verir. Bəzən təbii loqarifmdə olduğu kimi, holomorf funksiyanı kompleks müstəvidə sadə olmayan əlaqəli bölgəyə analitik şəkildə davam etdirmək mümkün olmur; Bununla belə, onu Riemann səthi adlanan yaxından əlaqəli bir səthə davam etdirmək hələ də mümkündür.

Daha yüksək ölçülərdə nəticələr

Bütün bunlar təkdəyişənli kompleks analizdə etibarlıdır. Bundan əlavə, güc seriyaları kimi analitik xüsusiyyətlər eyni qalır; Bununla belə, açıqlıq kimi bir çox həndəsə xüsusiyyətlərinin tətbiq olunmadığı bir çox mürəkkəb ölçülərdə kompleks təhlilin öyrənildiyi çoxvariantlı kompleks analizin zəngin bir sahəsi də vardır. Birölçülü kompleks analizdə bəlkə də ən mühüm nəticə olan və kompleks müstəvidə müəyyən bölgələrdə koherens əlaqəsini ifadə edən Riemann təsvir teoremi daha yüksək ölçülərdə keçərli deyil.

Həmçinin baxın

• Çok değişkenli karmaşık analiz
• Runge teoremi
• Karmaşık analiz konuları listesi
• Gerçel analiz

Mənbə

• Needham T., Vizual Kompleks Təhlil (Oxford, 1997) - Vizual Kompleks Təhlil.
• Henrici P., Tətbiqi və Hesablama Kompleksi Təhlili (Wiley). [Üç cild: 1974, 1977, 1986.]--Tətbiqi və hesablama kompleksi təhlili.
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 9 ed. , Ch.13-18 (Wiley, 2006)--Ali Mühəndislik Riyaziyyatı.
• Scheidemann, V., Bir neçə dəyişənlərdə kompleks analizə giriş (Birkhauser, 2005) - Multivariant kompleks təhlilə giriş.
• Shaw, WT, Mathematica ilə Kompleks Təhlil (Cambridge, 2006) - Mathematica ilə Kompleks Analiz.
• Marsden & Hoffman, Əsas kompleks analiz (Freeman, 1999)--Basic Complex Analysis.

Xarici keçidlər

• Kompleks Təhlil -- Corc Keynin dərsliyi 14 Mart 2009 tarihinde də </link>
• Douglas N. Arnold tərəfindən Kompleks Təhlil kursunun vebsaytı 5 Kasım 2013 tarihinde </link>
• İngilis Vikipediyasında Kompleks Təhlil haqqında nümunə suallar
• Mürəkkəb funksiyaları (və digərlərini) göstərmək üçün istifadə olunan keçidlər toplusu
• John H. Mathews tərəfindən Kompleks Analiz Layihəsi 6 Nisan 2013 tarihinde </link>
• Wolfram Research-in MathWorld Kompleks Təhlil Səhifəsi 11 Kasım 2012 tarihinde </link>
• Complex Viewer- İstənilən mürəkkəb funksiyaya baxmaq üçün istifadə edilən kiçik Java proqram