Mərkəzi qüvvə

Klassik mexanikada cismə təsir göstərən mərkəzi qüvvə, qüvvə mərkəzi tərəfindən cismi cəzb və ya itələmə xarakteri daşıyan qüvvədir.^[a]

${\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}$

Burada ${\textstyle {\vec {F}}}$ qüvvədir, F vektor qiymətli qüvvə funksiyası, F skalyar qiymətli qüvvə funksiyası, r radius vektoru, ||r|| onun modulu və ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /\|\mathbf {r} \|}$ radius vektoruna uyğun vahid vektordur.

Bütün mərkəzi qüvvə sahələri konservativ və ya sferik simmetrik deyil. Bununla belə, mərkəzi qüvvə yalnız və yalnız sferik simmetrik və ya fırlanma ilə invariant qalırsa, konservativdir.

Xüsusiyyətləri

Konservativ olan mərkəzi qüvvələr həmişə potensial enerjinin mənfi qradiyenti olaraq ifadə edilə bilər:-

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} ){\text{, hansı ki, }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r$

(inteqralın yuxarı sərhəddi ixtiyaridir, çünki potensiala sabit əlavə etmək və ya çıxartmaq qüvvəni dəyişdirmir.)

Konservativ sahədə ümumi mexaniki enerji (kinetik və potensial) qorunur:

$E={\frac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+{\frac {1}{2}}I|\mathbf {w} |^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}$

(burada ṙ radius vektorunun zamana görə törəməsidir yəni cismin sürətidir, 'I' həmin cismin ətalət momentini, 'w' isə bucaq sürətini ifadə edir) və mərkəzi qüvvə sahəsində impuls momenti də qorunur:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}$

Çünki qüvvənin verdiyi fırlanma momenti sıfırdır. Nəticədə, cisim impuls vektoruna perpendikulyar olan, mərkəz ehtiva edən müstəvidə hərəkət edir və Keplerin ikinci qanununa tabe olur. İstənilən mərkəzi qüvvənin təsiri altında hərəkət edən cismin Keplerin ikinci qanununa tabe olduğunu da göstərmək olar. Bununla belə, birinci və üçüncü qanunlar Nyutonun ümumdünya cazibə qanununun tərs-kvadratik təbiətindən asılıdır və digər mərkəzi qüvvələr üçün ümumiyyətlə keçərli deyil.

Konservativ olmanın nəticəsi olaraq, bu xüsusi mərkəzi qüvvə sahələri irrotasionaldır, yəni başlanğıcdan başqa onun rotatoru sıfırdır.

$\nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} {\text{.}}$

Nümunələr

Cazibə qüvvəsi və Kulon qüvvəsi mərkəzi qüvvənin yalnız 1/r² ilə mütənasüb olan iki tanış nümunəsidir. $F(\mathbf {r} )$ mənfidirsə, bu cür qüvvə sahəsində olan cisim Keplerin qanunlarına tabe olur.

Üçölçülü harmonik ossilyatorun qüvvə sahəsi mərkəzidir - $F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}$.

Bertrand teoreminə görə, bu iki $F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}$və $F(\mathbf {r} )=-kr$ qüvvə sahələri bütün məhdud orbitlərin stabil qapalı orbitlər olduğu yeganə mümkün mərkəzi qüvvə sahələridir. Bununla belə, bəzi qapalı orbitləri olan başqa qüvvə sahələri də mövcuddur.

Qeydlər

^a Bu məqalədə Teylorun kitabında verilmiş mərkəzi qüvvənin tərifindən istifadə edilir. Başqa bir yayğın tərif (ScienceWorld) qüvvənin sferik simmetrik olması məhdudiyyətini əlavə edir: ${\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(\|\mathbf {r} \|){\hat {\mathbf {r} }}$.