Videman-Frans qanunu

Videman-Frans qanunu — fiziki qanun; bu qanuna görə metalın istilikkeçiriciliyinin (κ), xüsusi elektrik keçiriciliyinə (σ) nisbəti temperaturla (T) mütənasibdir.^[1]

${\frac {\kappa }{\sigma }}=LT$

Lorens ədədi adlanan mütənasiblik əmsalı L nəzəri olaraq aşağıdakı bərabərliklə təyin olunur:

$L={\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=2.44\times 10^{-8}\,\mathrm {Vt\,Om\,K^{-2}} .$

Bu empirik qanun 1853-cü ildə κ/σ-nın eyni temperaturda müxtəlif metallar üçün təqribən eyni qiymətə malik olduğunu göstərən Qustav Videman və Rudolf Fransın şərəfinə adlandırılmışdır.^[2] κ/σ-nın temperaturla mütənasibliyi 1872-ci ildə Lüdviq Lorens tərəfindən kəşf edilmişdir.

Çıxarılışı

Keyfiyyətcə bu əlaqə həm istilik, həm də elektrik nəqlinin metaldakı sərbəst elektronlarla bağlı olmasına əsaslanır.

Qanunun riyazi ifadəsini aşağıdakı kimi çıxarmaq olar. Metalların elektrik keçiriciliyi məşhur bir hadisədir və şəkildəki kimi ölçülə bilən sərbəst keçirici elektronlara aid edilir. Cərəyan sıxlığı j-nin tətbiq olunan elektrik sahəsinə mütənasib olduğu müşahidə edilir və əmsalın xüsusi elektrik keçiriciliyi olması Om qanununa uyğundur. Elektrik sahəsinin intensivliyi və cərəyan sıxlığı vektor olduğundan Om qanununda qalın hərflərlə göstərilirlər. Keçiricilik ümumiyyətlə ikinci tərtib tenzor kimi ifadə edilə bilər (3×3 ölçülü matris). Burada müzakirəni izotrop, yəni skalyar keçiriciliklə məhdudlaşdırırıq. Xüsusi müqavimət keçiriciliyin tərsidir. Hər iki parametr aşağıda istifadə olunacaq.

19-cu əsrdə Drude keçiriciliyin fenomenoloji xarakteristikasının kifayət qədər ümumi şəkildə göstərilə biləcəyinin fərqinə varmışdır. Fenomenoloji təsvir keçirici elektronlar üçün yanlış olsa da, ilkin əməliyyat kimi kömək edə bilər.

Fərziyyə ondan ibarətdir ki, bərk cisim daxilindəki elektronlar ideal qazlardakı kimi sərbəst hərəkət edirlər. Elektrik sahəsi tərəfindən elektrona təsir edən qüvvə onun təcil almasına səbəb olur

$\mathbf {F} =-e\mathbf {E} =m{\frac {\;d\mathbf {v} }{dt}}$

$\;d\mathbf {v} =-{\frac {e\mathbf {E} }{m}}dt$

Amma bu sabit təcilə və nəhayət, sürətin sonsuzluğuna gətirib çıxaracaqdır. Buna görə də əlavə fərziyyə ondan ibarətdir ki, elektronlar arabir maneələrə (kristallik qüsurlara və ya fononlara) rast gəlir və bu da onların sərbəst uçuşunu məhdudlaşdırır. Bu orta sürət və ya dreyf sürəti V_d ilə müəyyən olunur. Aşağıdakı əlaqələrdən göründüyü kimi dreyf sürəti orta səpilmə vaxtından asılıdır.

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {e\mathbf {E} }{m}}={\frac {1}{\tau }}\mathbf {v}$

Qazların kinetik nəzəriyyəsindən alınır ki, $\kappa ={\frac {1}{3}}c_{V}mn\,\ell \,\langle v\rangle$ , burada $c_{V}=3{\frac {k_{\rm {B}}}{m}}$ Dülonq-Pti qanununa görə xüsusi istilik tutumu, $\ell$ orta sərbəst yol və

$\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8k_{\rm {B}}T}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8}{3\pi }}}v_{\rm {rms}}$ elektronların orta sürətidir; Drude modelindən, $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}={\frac {ne^{2}\ell }{m\langle v\rangle }}$ .

Buna görə də, ${\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{V}m^{2}\,\langle {v}\rangle ^{2}}{3e^{2}}}={\frac {8}{\pi }}{\frac {k_{\rm {B}}^{2}T}{e^{2}}}$ , bu müəyyən xətaya malik mütənasiblik sabiti ${\frac {8}{\pi }}\approx 2.55$ ilə Videman-Frans qanunudur. Kvant effektləri nəzərə alındıqdan sonra (Zommerfeld modelində olduğu kimi) mütənasiblik sabitinə eksperimental qiymətlərə uyğun gələn ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\approx 3.29$ ifadəsinə görə düzəliş edilir.

Temperatur asılılığı

Videman-Frans qanunu üçün vacib olan müxtəlif səpilmə proseslərinin eskizi.

L₀ = 2.44×10⁻⁸ Vt Om K⁻² qiyməti aşağı temperaturlarda ( $T\rightarrow 0$ K) istilik və yük axınlarının eyni kvazihissəciklər - elektronlar və ya deşiklər tərəfindən daşınması ilə əlaqədardır. Sonlu temperaturda $L=\kappa /(\sigma T)$ nisbətinin nəzəri L₀ Lorens ədədindən meyllənməsini iki mexanizm səbəb olur: (i) fonon və ya maqnon kimi digər istilik daşıyıcıları, (ii) qeyri-elastik səpilmə. Temperatur 0K-nə meyl etdikcə qeyri-elastik səpilmə zəif olur və böyük q səpilmə qiymətlərini təşviq edir (şəkildə a trayektoriyası). Daşınan hər bir elektronla istilik ehtizazı da aparılır və Lorens ədədinə yaxınlaşılır L = L₀. Qeyd edək ki, mükəmməl bir metalda qeyri-elastik səpilmə $T\rightarrow 0$ K limitində tamamilə aradan qalxacaq və istilik keçiriciliyi yox olacaq $\kappa \rightarrow 0;L\rightarrow 0$ . Sonlu temperaturda kiçik q səpilmə qiymətləri mümkündür (şəkildə b trayektoriyası) və elektron L(T) < L₀ istilik həyəcanının nəqli olmadan nəql edilə bilər. Daha yüksək temperaturlarda sistemdə istilik daşınmasına fonon mühüm təsir göstərir. Bu L(T) > L₀ bərabərsizliyinə səbəb ola bilər. Debay temperaturundan yuxarıda fononun istilik daşınmasına təsiri sabitdir və L(T) nisbəti yenə sabit qalır.^[3]^[4]

Nəzəriyyənin məhdudiyyətləri

Təcrübələr göstərmişdir ki, L dəyəri təxminən sabit olsa da, bütün materiallar üçün tam olaraq eyni deyil. Kittel 0°C-də mis üçün L = 2.23×10⁻⁸ Vt Om K⁻² ilə 100°C-də volfram üçün L = 3.2×10⁻⁸ Vt Om K⁻² arasında dəyişən L-in bəzi qiymətlərini vermişdir.^[5] Rozenberq qeyd edir ki, Videman-Frans qanunu ümumiyyətlə yuxarı və aşağı (yəni bir neçə Kelvin) temperaturlar üçün etibarlıdır, lakin aralıq temperaturlarda qüvvədə olmaya da bilər.^[6]

Bir çox yüksək təmizlikli metallarda temperatur azaldıqca həm elektrik, həm də istilik keçiriciliyi yüksəlir. Bəzi materiallarda (məsələn, gümüş və ya alüminiumda) L-in qiyməti də temperatura nəzərən azala bilər. Ən təmiz gümüş nümunələrində və çox aşağı temperaturda L 10 faktor qədər azala bilər.^[7]

Cırlaşmış yarımkeçiricilərdə Lorens ədədi L sistemin müəyyən parametrlərindən: ölçülülük, atomlararası qarşılıqlı təsir qüvvəsindən və Fermi səviyyəsindən güclü asılılığa malikdir. Bu qanun keçərli deyil və ya Lorens ədədinin qiyməti ən azı aşağıdakı hallarda azaldıla bilər: halların elektron sıxlığının manipulyasiyası ilə, korrelyasiya daşıyıcıları olan superqəfəslərdə və materiallarda müxtəlif aşqarların sıxlığını və təbəqənin qalınlığını dəyişməklə. Termoelektrik materiallarda xüsusilə açıq dövrə və qapalı dövrə olmaqla sərhəd şərtlərinə görə düzəlişlər də var.^[8]^[9]^[10]

Kənaraçıxma

2011-ci ildə N. Veykham və başqaları aşkar etdi ki, kvazi-birölçülü litium-molibden bənövşəyi bürünc Li_0.9Mo₆O₁₇-nin metal fazasındakı istilik və elektrik Holl keçiriciliklərinin nisbəti azalan temperaturla fərqliləşir və Videman-Frans qanununa uyğun gələn adi metallardakından beş dəfə daha böyük qiymətə çatır.^[11]^[12] Bu onun spin-yük ayrılması və özünü Lüttinqer mayesi kimi aparması ilə əlaqədardır.^[11]

2016-cı ildə Li və digərləri tərəfindən Berkli rəhbərliyi altında aparılan tədqiqatlar, həmçinin VO₂ nanoşüalarında izolyator-metal keçidi yaxınlığında Videman-Frans qanunundan böyük kənaraçıxmanı aşkar etdi. Metal fazada istilik keçiriciliyində elektronların iştirakı Videman-Frans qanununda gözləniləndən çox az idi. Bu nəticələri güclü korrelyasiyalı sistemdə yük və istiliyin müstəqil yayılması baxımından izah etmək olar.^[13]^[14]

Molekullar üçün Videman-Frans qanunu

2020-ci ildə Qalen Kreyven və Avraam Nitzen molekulyar sistemlər üçün Videman-Frans qanununu çıxardılar ki, burada elektrik keçiriciliyi metallarda olduğu kimi sərbəst elektronların hərəkəti deyil, molekulyar zonalar arasında elektron köçürülməsi üstünlük təşkil edir.^[15] Molekulyar Videman-Frans qanunu aşağıdakı kimi verilir

${\frac {\kappa }{\sigma }}=L_{\text{M}}{\frac {\lambda }{k_{\rm {B}}}}$

burada,

$L_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}$

molekullar üçün Lorens ədədi, $\lambda$ isə elektron köçürmə üçün yenidənqurulma enerjisidir.

İstinadlar

↑ Jones, William; March, Norman H. (1985). Theoretical Solid State Physics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65016-6.
↑ Franz, R.; Wiedemann, G. (1853). "Ueber die Wärme-Leitungsfähigkeit der Metalle" Arxivləşdirilib 2019-10-01 at the Wayback Machine. Annalen der Physik (in German). 165 (8): 497–531. Bibcode:1853AnP...165..497F Arxivləşdirilib 2022-05-31 at the Wayback Machine. doi:10.1002/andp.18531650802.
↑ Mizutani, Uichiro (2003). Introduction to the Electron Theory of Metals. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. ISBN 9780511612626.
↑ Thermal conductivity: theory, properties, and applications, edited by Terry Tritt, Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York (2004), ISBN 978-0-387-26017-4
↑ Kittel, C., 2005. Introduction to Solid State Physics. John Wiley and Sons
↑ Rosenberg, H. 2004. The Solid State. Oxford University Press
↑ K. Gloos, C. Mitschka, F. Pobell and P. Smeibidl. Cryogenics, 30 (1990), p. 14, doi:10.1016/0011-2275(90)90107-N
↑ A. J. Minnich, M. S. Dresselhaus, Z. F. Ren and G. Chen. Bulk nanostructured thermoelectric materials: current research and future prospects, Energy & Environmental Science, 2009, 2, 466–479, doi:10.1039/b822664b
↑ A. Putatunda and D.J. Singh. Lorenz number in relation to estimates based on the Seebeck coefficient, Materials Today Physics, 2019, 8, 49-55, doi:10.1016/j.mtphys.2019.01.001
↑ Paothep Pichanusakorn, Prabhakar Bandaru. Nanostructured thermoelectrics, Materials Science and Engineering: R: Reports, Volume 67, Issues 2–4, 29 January 2010, pages 19–63, ISSN 0927-796X Arxivləşdirilib 2022-05-30 at the Wayback Machine, doi:10.1016/j.mser.2009.10.001.
↑ ¹ ² Wakeham, Nicholas; Bangura, Alimamy F.; Xu, Xiaofeng; Mercure, Jean-Francois; Greenblatt, Martha; Hussey, Nigel E. (2011-07-19). "Gross violation of the Wiedemann–Franz law in a quasi-one-dimensional conductor". Nature Communications. 2: 396. Bibcode:2011NatCo...2..396W Arxivləşdirilib 2022-05-31 at the Wayback Machine. doi:10.1038/ncomms1406. ISSN 2041-1723. PMC 3144592. PMID 21772267 Arxivləşdirilib 2022-07-09 at the Wayback Machine.
↑ "Bristol physicists break 150-year-old law" Arxivləşdirilib 2022-09-16 at the Wayback Machine.
↑ Lee, Sangwook; Hippalgaonkar, Kedar; Yang, Fan; Hong, Jiawang; Ko, Changhyun; Suh, Joonki; Liu, Kai; Wang, Kevin; Urban, Jeffrey J. (2017-01-27). "Anomalously low electronic thermal conductivity in metallic vanadium dioxide" Arxivləşdirilib 2018-07-24 at the Wayback Machine (PDF). Science. 355 (6323): 371–374. Bibcode:2017Sci...355..371L Arxivləşdirilib 2021-05-23 at the Wayback Machine. doi:10.1126/science.aag0410. ISSN 0036-8075. PMID 28126811 Arxivləşdirilib 2022-06-17 at the Wayback Machine.
↑ Yang, Sarah (2017-01-26). "For This Metal, Electricity Flows, But Not the Heat | Berkeley Lab" Arxivləşdirilib 2022-09-11 at the Wayback Machine. News Center.
↑ Craven, Galen T.; Nitzan, Abraham (2020-02-12). "Wiedemann–Franz Law for Molecular Hopping Transport". Nano Letters. 20 (2): 989–993. arXiv:1909.06220. doi:10.1021/acs.nanolett.9b04070. ISSN 1530-6984.

[1] Jones, William; March, Norman H. (1985). Theoretical Solid State Physics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65016-6.

[2] Franz, R.; Wiedemann, G. (1853). "Ueber die Wärme-Leitungsfähigkeit der Metalle" Arxivləşdirilib 2019-10-01 at the Wayback Machine. Annalen der Physik (in German). 165 (8): 497–531. Bibcode:1853AnP...165..497F Arxivləşdirilib 2022-05-31 at the Wayback Machine. doi:10.1002/andp.18531650802.

[3] Mizutani, Uichiro (2003). Introduction to the Electron Theory of Metals. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. ISBN 9780511612626.

[4] Thermal conductivity: theory, properties, and applications, edited by Terry Tritt, Kluwer Academic / Plenum Publishers, New York (2004), ISBN 978-0-387-26017-4

[5] Kittel, C., 2005. Introduction to Solid State Physics. John Wiley and Sons

[6] Rosenberg, H. 2004. The Solid State. Oxford University Press

[7] K. Gloos, C. Mitschka, F. Pobell and P. Smeibidl. Cryogenics, 30 (1990), p. 14, doi:10.1016/0011-2275(90)90107-N

[8] A. J. Minnich, M. S. Dresselhaus, Z. F. Ren and G. Chen. Bulk nanostructured thermoelectric materials: current research and future prospects, Energy & Environmental Science, 2009, 2, 466–479, doi:10.1039/b822664b

[9] A. Putatunda and D.J. Singh. Lorenz number in relation to estimates based on the Seebeck coefficient, Materials Today Physics, 2019, 8, 49-55, doi:10.1016/j.mtphys.2019.01.001

[10] Paothep Pichanusakorn, Prabhakar Bandaru. Nanostructured thermoelectrics, Materials Science and Engineering: R: Reports, Volume 67, Issues 2–4, 29 January 2010, pages 19–63, ISSN 0927-796X Arxivləşdirilib 2022-05-30 at the Wayback Machine, doi:10.1016/j.mser.2009.10.001.

[:0-11] ¹ ² Wakeham, Nicholas; Bangura, Alimamy F.; Xu, Xiaofeng; Mercure, Jean-Francois; Greenblatt, Martha; Hussey, Nigel E. (2011-07-19). "Gross violation of the Wiedemann–Franz law in a quasi-one-dimensional conductor". Nature Communications. 2: 396. Bibcode:2011NatCo...2..396W Arxivləşdirilib 2022-05-31 at the Wayback Machine. doi:10.1038/ncomms1406. ISSN 2041-1723. PMC 3144592. PMID 21772267 Arxivləşdirilib 2022-07-09 at the Wayback Machine.

[12] "Bristol physicists break 150-year-old law" Arxivləşdirilib 2022-09-16 at the Wayback Machine.

[13] Lee, Sangwook; Hippalgaonkar, Kedar; Yang, Fan; Hong, Jiawang; Ko, Changhyun; Suh, Joonki; Liu, Kai; Wang, Kevin; Urban, Jeffrey J. (2017-01-27). "Anomalously low electronic thermal conductivity in metallic vanadium dioxide" Arxivləşdirilib 2018-07-24 at the Wayback Machine (PDF). Science. 355 (6323): 371–374. Bibcode:2017Sci...355..371L Arxivləşdirilib 2021-05-23 at the Wayback Machine. doi:10.1126/science.aag0410. ISSN 0036-8075. PMID 28126811 Arxivləşdirilib 2022-06-17 at the Wayback Machine.

[14] Yang, Sarah (2017-01-26). "For This Metal, Electricity Flows, But Not the Heat | Berkeley Lab" Arxivləşdirilib 2022-09-11 at the Wayback Machine. News Center.

[15] Craven, Galen T.; Nitzan, Abraham (2020-02-12). "Wiedemann–Franz Law for Molecular Hopping Transport". Nano Letters. 20 (2): 989–993. arXiv:1909.06220. doi:10.1021/acs.nanolett.9b04070. ISSN 1530-6984.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]