Vektor (riyaziyyat və fizika)

Vektor (lat. vector — "daşıyıcı") — istiqamətlənmiş düz xətt parçası. Riyaziyyat, fizika və mühəndislikdə vektor dedikdə, Evklid fəzasında (və ya müstəvidə) ədədi qiyməti və istiqaməti ilə xarakterizə olunan həndəsi obyekt başa düşülür.^[1]

Vektorlara misal kimi radius vektoru, sürət və moment vektorlarını göstərmək olar. Əgər fəzada koordinat sistemi verilərsə, vektor onun koordinatlar çoxluğu ilə yeganə formada təyin oluna bilər. Buna görə də riyaziyyat, informatika və başqa elmlərdə nizamlı ədədlər çoxluğuna vektor deyilir. Daha ümumi mənada, riyaziyyatda vektor hər hansı vektor (xətti) fəzanın elementi kimi qəbul edilir.

Xətti cəbrdə vektorlar ümumi formada matris, tenzor kimi ifadə oluna bilir, bu halda vektor dedikdə müvafiq olaraq bir sıra və ya sütun vektoru, birinci tərtib tenzor kimi başa düşülür. Vektorlar üzərindəki əməllərin xassələri vektor hesabında öyrənilir.

Təyinatları

$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ elementlərindən (komponentlərindən) ibarət vektor aşağıdakı şəkillərdə işarələnir:

\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right),\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}

.

Kəmiyyətin vektor olduğunu vurğulamaq üçün yuxarı xətt və ya oxdan, qalın və ya qotik şriftdən istifadə edilir:

{\bar {a}},\ {\vec {a}},\mathbf {a} ,{\mathfrak {A}},\ {\mathfrak {a}}.

Vektorların toplanması demək olar ki, həmişə plyus işarəsiylə göstərilir:

{\vec {a}}+{\vec {b}}

.

Ədədə (skalyara) vurma xüsusi bir işarə olmadan sadəcə onun yanında yazıla bilər, məsələn:

k{\vec {b}}

,

ədəd isə həmişə solda yazılır. Bir matrisə vurma xüsusi bir işarə olmadan onun yanında yazmaqla da göstərilir, lakin burada ümumi vəziyyətdə amillərin permutasiyası nəticəyə təsir göstərir. Xətti bir operatorun bir vektorda hərəkəti, solda operatoru xüsusi işarə olmadan yazmaqla da göstərilir.

Tarixi

Intuitiv olaraq bir vektor, miqyası, istiqaməti və (istəyə bağlı) tətbiq nöqtəsi olan bir obyekt kimi başa düşülür. Vektor hesablamasının rudimentsləri kompleks ədədlərin həndəsi modeli ilə birlikdə ortaya çıxdı (Qauss, 1831). Uilyam Rouen Hamilton, işlənmiş əməliyyatları vektorlarla hesablamasının bir hissəsi olaraq yayımladı (dördüncü xəyali komponentlər vektoru meydana gətirdi). Uilyam Rouen Hamilton, vektor termini (lat. vector — "daşıyıcı") təklif etdi və vektor analizinin bəzi əməliyyatlarını təsvir etdi. Bu formalizm Ceyms Maksvell tərəfindən elektromaqnetizmə dair əsərlərində istifadə edilmiş və bununla da elm adamlarının diqqətini yeni hesablamaya cəlb etmişdir. Tezliklə Cozayya Uillard Gibbsin Vektor analizinin elementləri çıxdı (1880-ci illər), sonra Hevisayd Oliver (1903-cü il) vektor analizinə müasir bir görünüş verdi. Ümumiyyətlə qəbul edilmiş vektor işarələmələri yoxdur; qalın tip, hərfin üstündəki xətt və ya ox, qot əlifbası və s. istifadə olunur.^[2]

Həndəsədə

Əsas məqalə: Vektor (həndəsə)

Həndəsədə vektorlar istiqamətlənmiş düz xətt parçaları deməkdir. Bu təfsir çox vaxt kompüter qrafiklərində, işıqlandırma xəritələrini qurmaqda, səthlərə normadan istifadə etməkdə istifadə olunur. Vektorlardan istifadə edərək üçbucaqlar və paraleloqramlar kimi müxtəlif formaların sahələrini, həm də cisimlərin həcmi: tetraedr və paralelepiped də tapa bilərsiniz. Bəzən bir istiqamət bir vektorla təyin olunur.

Həndəsədə bir vektor təbii olaraq bir köçürmə (paralel köçürmə) ilə əlaqələndirilir ki, bu da açıq şəkildə adının mənşəyini aydınlaşdırır(lat. vector, daşıyıcı). Həqiqətən, istənilən yönümlü düz xətt parçası müstəvi və ya fəzanın paralel ötürülməsini misilsiz şəkildə müəyyənləşdirir və əksinə, paralel ötürmə tək bir yönümlü parçanı müəyyənləşdirir (birmənalı şəkildə — eyni istiqamətdə və uzunluqdakı bütün yönümlü parçalar bərabər hesab olunursa — yəni onlar sərbəst vektorlar hesab olunur). Bir vektorun köçürmə kimi şərh edilməsi, əlavə vektorların işləməsini — iki (və ya bir neçə) köçürmənin tərkibi (ardıcıl istifadəsi) kimi təqdim etmək üçün təbii və intuitiv şəkildə açıq bir yol təqdim etməyə imkan verir; eyni, bir vektorun bir sıra ilə vurulması əməlinə aiddir.

Xətti cəbrdə

Xətti cəbrdə bir vektor aşağıda göstərilən ümumi tərifə uyğun bir xətti fəzanın elementidir. Vektorlar fərqli bir təbiətə sahib ola bilər: yönləndirilmiş parçalar, matrislər, ədədlər, funksiyalar və digərləri, eyni ölçülü bütün xətti fəzalar bir-birinə izomorfdur. Bir vektor anlayışı ən çox xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həllində, habelə xətti operatorlarla işləyərkən istifadə olunur (xətti operatorun nümunəsi fırlanma operatorudur). Tez-tez bu tərif norma və ya skalyar bir məhsul (bəlkə də hər ikisi) müəyyənləşdirilərək genişlənir, bundan sonra onlar normallaşdırılmış və Evklid fəzalarında fəaliyyət göstərirlər, vektorlar arasındakı bucaq anlayışını skalyar məhsulu ilə və vektorun uzunluğu anlayışını norma ilə bağlayırlar. Bir çox riyazi obyektlər (məsələn, matrislər, tenzorlar və s.), o cümlədən sonlu (və bəzən hətta sayıla bilən) sifariş edilmiş siyahıdan daha ümumi bir quruluşa sahib olanlar, bir vektor fəzasının aksiomları, yəni cəbr baxımından, vektorlardır.

Funksional analizdə

Funksional analiz funksional fəzaları — sonsuz ölçülü xətti fəzaları nəzərdən keçirir. Onların elementləri funksiyalar ola bilər. Bir funksiyanın bu təqdimatına əsasən Furye sıraları nəzəriyyəsi qurulur. Eynilə, xətti cəbr ilə, bir norma, bir skalyar məhsul və ya bir funksiya sahəsindəki bir metrik tətbiq olunur.

Diferensial tənliklərin həlli üçün bəzi üsullar, məsələn, son element metodu, Hilbert fəzasının bir elementi kimi bir fəaliyyət anlayışına əsaslanır.

Ümumi tərif

Bir vektorun ən ümumi tərifi ümumi cəbr vasitəsi ilə verilir:

Qeyd edək ki, ${\mathfrak {F}}$ (qotik F) bir çox elementi olan bəzi sahə $F$ , əlavə əməliyyat $+$ ,çoxaltma əməliyyatı $*$ , və uyğun neytral elementlər: əlavə hissə $0$ və multiplikativ vahid $1$ ilə ifadə olur.
${\mathfrak {V}}$ (qotik V)bəzi Abel qrupunu $V$ elementlər dəsti ilə, əlavə işləmə $+$ və müvafiq olaraq, aşqar birliyi $\mathbf {0}$ ilə ifadə edirik.

Başqa sözlə, ${\mathfrak {F}}=\langle F;+,*\rangle$ и ${\mathfrak {V}}=\langle V;+\rangle$ alırıq.

Bir əməliyyat varsa $F\times V\to V$ ,hər hansı biri üçün belə $a,b\in F$ и для любых $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ nisbətlər ifadə olunur:

$(a+b)\times \mathbf {x} =a\times \mathbf {x} +b\times \mathbf {x}$ ,
$a\times (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\times \mathbf {x} +a\times \mathbf {y}$ ,
$(a*b)\times \mathbf {x} =a\times (b\times \mathbf {x} )$ ,
$1\times \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ,

sonra

${\mathfrak {F}}$ sahənin üstündən ${\mathfrak {V}}$ vektor boşluğu adlanır (və ya xətti boşluq),
$V$ elementləri vektorlar adlanır,
$F$ elementləri — skalyarlar adlanır,
$F\times V\to V$ — göstərilən əməliyyat bir vektoru skalyara vurmadır.

Xətti cəbrin bir çox nəticəsi komutativ olmayan cisimlər və hətta ixtiyari modullar üzərində vahid modullara ümumiləşdirilir, buna görə də ən ümumi vəziyyətdə, bəzi kontekstlərdə bir üzük üzərində modulun istənilən elementinə vektor deyilə bilər.

Fiziki şərh

Həm qiyməti, həm də istiqməti olan struktur kimi vektor fizikada sürət, qüvvə və əlaqəli kəmiyyətlərin, kinematika və ya dinamikanın riyazi modeli kimi nəzərdən keçirilir. Bir çox fiziki sahələrin riyazi modeli (məsələn, elektromaqnit sahələri və ya maye sürət sahələri) vektor meydanlarıdır.

Abstrakt çoxölçülü və sonsuz ölçülü (funksional analiz ruhunda) vektor fəzaları Laqranj və Hamilton formalizmində mexaniki və digər dinamik sistemlərə tətbiq edildiyi kimi, kvant mexanikasında da tətbiq olunur.

Vektor ardıcıllıq kimi

Vektor — bircins elementlərdən ibarət dəstdir. Bu adi vektor əməllərinin ümumiyyətlə göstərilməməsi, daha az olması və ya xətti məkanın adi aksiomalarına cavab verə bilməməsi baxımından ən ümumi tərifdir. Bu formada vektorun proqramlaşdırmada başa düşüldüyü, burada, bir qayda olaraq, kvadrat mötərizədə (məsələn, obyekt []) olan identifikator adı ilə işarə olunur. Xassələrin siyahısı sistem nəzəriyyəsində qəbul edilən bir obyektin sinfini və vəziyyətini təyin edir. Beləliklə, vektor elementlərinin növləri cismin sinifini, elementlərin dəyərləri isə onun vəziyyətini müəyyənləşdirir. Ancaq, ehtimal ki, terminin bu cür istifadəsi cəbrdə və ümumiyyətlə riyaziyyatda ümumiyyətlə qəbul olunanlardan artıqdır.

Arifmetik vektor n ədədlərin yığılması əmrinə deyilir. Bu ${\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ işarə edilmişdir, $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ bir arifmetik vektorun komponentləri adlanır. Bir çox hesab vektoru,hansı ki,bunun üçün əlavə əməliyyatlar təyin olunur və sayına görə çoxalır arifmetik vektorların boşluğu adlanır $R^{n}$ .^[3].

Həmçinin bax

İstinadlar

↑ Вектор // Математическая энциклопедия (в 5 томах) Arxivləşdirilib 2013-11-13 at the Wayback Machine. — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник (3-е изд). СПб.: ЛКИ. 2008. ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Линейная алгебра. ИЭТ МЭИ Краткий конспект лекций http://old.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/lection/lection3/lection3.asp Arxivləşdirilib 2019-11-26 at the Wayback Machine

Ədəbiyyat

Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. М: Высшая школа. 1985. 232.
J. V. Field. 'The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance. Oxford University Press. 1997. ISBN 0198523947.
J. Perez, Mécanique physique, Masson, 2007 ISBN 2225553416
M. B. Karbo, Le graphisme et l'internet, Compétence micro, № 26, 2002 ISBN 2912954959
F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 ISBN 2-87694-040-X
R. Pouzergues, Les Hexamys, IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote : IM8974 Lire
D. Lehmann et Rudolf Bkouche, Initiation à la géométrie, PUF, 1988, ISBN 2130401600
Y. Sortais, La Géométrie du triangle. Exercices résolus, Hermann, 1997, ISBN 270561429X
Y. Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques, Ellipses Marketing, 2002 ISBN 2729811486

Xarici keçidlər

[1] Вектор // Математическая энциклопедия (в 5 томах) Arxivləşdirilib 2013-11-13 at the Wayback Machine. — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.

[2] Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник (3-е изд). СПб.: ЛКИ. 2008. ISBN 978-5-382-00839-4.

[3] Линейная алгебра. ИЭТ МЭИ Краткий конспект лекций http://old.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/lection/lection3/lection3.asp Arxivləşdirilib 2019-11-26 at the Wayback Machine

[1]

[2]

[3]