Zeta sabiti

Zeta sabiti — tam ədədi Rieman zeta funksiyasında yerində yazmaqla alınan sabit.

0 və 1-də Rieman zeta funksiyası

• 0-da Rieman zeta funksiyası aşağıdakı kimidir:

$\zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$

• 1-də Rieman zeta funksiyası aşağıdakı kimidir:

$\zeta (1)=\infty .\,$

Müsbət cüt tam ədədlər

Müsbət cüt tam ədədlər üçün aşağıdakı kimidir:

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

$n\geq 1$ düsturuna əsasən hesablanmış zeta funksiyası:

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1.6449\dots$; Bazel problemi

$\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}=1.0823\dots$; Fizikada Ştefan–Boltsman qanunu və Vyana Yaxınlaşması

$\zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}=1.0173...\dots$

$\zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407...\dots$

$\zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994...\dots$

$\zeta (12)=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots$

$\zeta (14)=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots$

Müsbət tam ədəd üçün olan zeta ilə Bernulli ədədləri arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi yazılır:

$0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}\,$

Müsbət tək tam ədədlər

Buna misal olaraq bir neçəsini göstərmək olar:

$\zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty$

$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.20205\dots$; Aperi sabiti

$\zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots =1.03692\dots$

$\zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots =1.00834\dots$

$\zeta (9)=1+{\frac {1}{2^{9}}}+{\frac {1}{3^{9}}}+\cdots =1.002008\dots$

Zeta Sabitləri Cəmi

Zeta Sabitləri Cəminin düsturu aşağıdakı kimidir:

$\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)=1$

Xarici keçidlər

• Simon Pluffe "Zeta sabiti Arxivləşdirilib 2009-01-30 at the Wayback Machine", (1998).
• Simon Pluffe "Zeta sabiti haqqında Arxivləşdirilib 2009-04-04 at the Wayback Machine
• Simon Pluffe "PDF Zeta sabiti Arxivləşdirilib 2011-09-26 at the Wayback Machine" (2006).
• Linas Vepstas "Simon Pluffi Linas.org"
• Math. NT/0609775 Arxiv (2006).
• Vadim Zudilin "ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)'den Biri İrrasional." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149–150, 2001.
• PDF Wain.mi.ras.ru  (rus.)
• PS Wain.mi.ras.ru  (rus.)
• PDF Wain.mi.ras.ru  (rus.)
• PS Wain.mi.ras.ru  (rus.)