Evklid məsafəsi

(Evklid Məsafəsi səhifəsindən yönləndirilmişdir)

Evklid məsafəsi Evklid fəzasında iki nöqtə arasındaki parçanın uzunluğudur. Evklid məsafəsi Pifaqor teoremindən istifadə edərək nöqtələrin Karteziyan koordinatları vasitəsilə hesablana bilər, buna görə bəzən bu məsafə həm də Pifaqor məsafəsi adlandırırlar. Bu adlar qədim yunan riyaziyyatçıları EvklidPifaqorla əlaqəlidir, baxmayaraq ki, Evklid məsafələri ədədlər olaraq təmsil etmirdi və Pifaqor teoremindən istifadə edilərək məsafənin hesablanmasına bağlantı 18-ci əsrə qədər qurulmamışdı.

Pifaqor teoremindən istifadə etməklə ikiölçülü Evklid məsafəsinin hesablanması

Nöqtə olmayan iki obyekt arasındakı məsafə, adətən iki obyekt arasındakı nöqtə cütləri arasındakı ən kiçik məsafə olaraq təyin olunur. Bir nöqtədən bir xəttə olan məsafə kimi, müxtəlif növ obyektlər arasındakı məsafələrin hesablanması üçün düsturlar mövcuddur. Müasir riyaziyyatda məsafə anlayışı mücərrəd metrik fəzalara qədər ümumiləşdirilmiş və Evklid məsafəsindən başqa digər məsafələr tədqiq edilmişdir. Statistikada və optimallaşdırmadaki bəzi tətbiqlərdə məsafənin özü yerinə Evklid məsafəsinin kvadratı istifadə olunur.

Məsafə formulları

redaktə

Birölçülü

redaktə

Həqiqi ədəd oxu üzərindəki istənilən iki nöqtə arasındaki məsafə həmin nöqtələrin koordinatlarının ədədi fərqinin mütləq qiymətinə bərabərdir. Belə ki, əgər    həqiqi ədəd oxu üzərindəki iki nöqtədirsə, onda bu nöqtələr arasındaki məsafə bu şəkildə verilir:[1]   Eyni qiyməti verən, lakin daha yüksək ölçülərə daha asanlıqla ümumiləşdirilə bilən daha mürəkkəb bir düstur:  Bu formulda ifadəni kvadrata yüksəltmək və sonra kvadrat kökü almaq müsbət ədədi dəyişmir, lakin hər hansı mənfi ədədi mütləq qiymətiilə əvəz edir.[1]

İkiölçülü

redaktə

Əgər Evklid müstəvisindəki    nöqtələrinin uyğun olaraq    karteziyan koordinatlarıdırsa, onda    nöqtələri arasındaki Evklid məsafəsi aşağıdaki kimi ifadə edilir:[2]  Bu ifadəni Pifaqor teoremini hipetenuzu  -dən  -yə parça olan düzbucaqlı üçbucağa tətbiq etməklə almaq olar, bu halda katetlər həmin nöqtələrin    koordinatları fərqinin mütləq qiyməti olacaq. Kvadrat kökün içindəki iki kvadrat formul üfüqi və şaquli katetlərin kvadratların sahələrini verir və kvadrat kök hipotenuzdakı kvadratın sahəsini hipotenuzun uzunluğuna çevirir.[3]

Qütb koordinatları ilə verilən nöqtələr üçün məsafəni hesablamaq da mümkündür.    nöqtəsinin qütb koordinat sistemində uyğun olaraq kordinatları   -dırsa, onda həmin nöqtələr arasındaki məsafə[2] kosinuslar teoremi ilə aşağıdaki kimi tapılır:      kompleks müstəvidə kompleks ədədlər şəklində ifadə edildikdə, həqiqi ədədlərlə ifadə olunan nöqtələr üçün birölçülü məsafə düsturdan istifadə edilə bilər:[4]  

Yüksəkölçülü

redaktə
 
Pifaqor teoremini dəfələrlə tətbiq etməklə   ölçülü Eklid məsafəsi düsturunun çıxarılması

Karteziyan koordinatlarla verilmiş üçölçülü fəzadaə iki nöqtə arasındaki Evklid məsafəsi aşağıdaki formul vasitəsilə tapılır:   Ümumiyyətlə, karteziyan kordinatlar vasitəsilə   ölçülü Evklid fəzasında verilən nöqtələr üçün məsafə formulu aşağıdaki kimidir:[5]  

İstinadlar

redaktə
  1. 1 2 Smith, Karl, Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, 2013, səh. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7, 2022-07-11 tarixində arxivləşdirilib, İstifadə tarixi: 2021-07-18
  2. 1 2 Cohen, David, Precalculus: A Problems-Oriented Approach (6th), Cengage Learning, 2004, səh. 698, ISBN 978-0-534-40212-9, 2022-07-10 tarixində arxivləşdirilib, İstifadə tarixi: 2021-07-18
  3. Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D., College Trigonometry (6th), Cengage Learning, 2007, səh. 17, ISBN 978-1-111-80864-8, 2022-07-11 tarixində arxivləşdirilib, İstifadə tarixi: 2021-07-18
  4. Andreescu, Titu; Andrica, Dorin, 3.1.1 The Distance Between Two Points // Complex Numbers from A to ... Z (2nd), Birkhäuser, 2014, 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0
  5. Tabak, John, Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, 2014, səh. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0, 2022-07-11 tarixində arxivləşdirilib, İstifadə tarixi: 2021-07-18