Sonsuz meymun teoremi

Sonsuz meymun teoremi — bir yazı makinasının düymələrinə sonsuz bir müddət boyunca təsadüfi şəkildə basan bir meymunun müəyyən bir mətni (məsələn Vilyam Şekspirin bütün əsərlərini) demək olar ki tam dəqiq olaraq yaza biləcəyini iddia edən riyaziyyat teoremidir.

Yazı makinasının düymələrinə təsadüfi şəkildə basan bir şimpanze lazımı qədər müddət verilərsə, bu səyin nəticəsində bir vaxt Şekspirin bütün əsərlərini demək olar ki tam dəqiq olaraq yaza bilər.

Burada "meymun" sözü həqiqi bir meymundansa, təsadüfi hərflərdən ibarət olan bir təsadüfi ardıcıllığı sonsuzadək davam etdirə bilən bir obyekti ifadə edir. Teorem çox böyük, amma sonlu bir ədəd xəyal edərək sonsuzluq haqqında fikir yürütmənin risklərinə diqqət çəkir. Bir meymunun Şekspirin Hamleti kimi bir əsəri tamamən eyni formada yaza bilmə ehtimalı o qədər kiçikdir ki, bu hadisənin kainatın yaşı miqdarında bir vaxtda həyata keçmə şansı çox azdır, amma sıfır deyildir.

Teoremin çox və ya sonsuz sayda printer olan versiyaları olduğu kimi, hədəf mətnin böyüklüyü də bütün bir kitabxana ilə tək bir cümlə arasında da dəyişə bilir. Teoremin kökləri Aristotelin 'Yaranma və Dağılma' və Siseronun 'De natura deorum' adlı əsərləri ilə Blez Paskal və Conatan Sviftin düşüncələrinə əsaslanır. .....

Yazı yazan meymunlara olan xüsusi maraq televiziya, radio, musiqi və İnternetdəki bir çox misaldan görünə bilir. 2003-cü ildə altı kəkilli qara meymunla (Macaca nigra) bir sınaq həyata keçirilmişdir, lakin ortaya çıxmış kağız 'S' hərfinin üstünlük təşkil etdiyi beş səhifəlik bir yazı nümunəsi olmuşdur.^[1]

Həll

Sübut

Teoremin olduqca başa düşülən bir sübutu vardır. ...

Yazı makinasında 50 düymə olduğu və yazılacaq sözün "meymun" olduğunu güman edək. Düymələrə təsadüfi şəkildə basıldığı nəzərə alınarsa, yazılan ilk hərfin m olma ehtimalı 1/50-dir. Oxşar qayda ilə, ikinci hərfin e olma ehtimalı da 1/50-yə bərabər olacaqdır. Ard-arda yazılan hərflər bir-birindən asılı olmayan hadisələr olduğundan, ilk altı hərfin "meymun" sözünü əmələ gətirdiyi ehtimalı

(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)⁶ = 1/15.625.000.000

olaraq hesablanır. Bu ədəd də 15 milyardda birdən kiçikdir. Eyni səbəblə də yazılacaq sonrakı altı hərfin "meymun" sözünü əmələ gətirməsi ehtimalı da (1/50)⁶-ya bərabər olacaq və bu hal belə də davam edir.

Yuxarıdakı açıqlamalara əsasən "meymun" sözünün yaranmaması ehtimalı isə 1 − (1/50)⁶-ya bərabərdir.

Yazı sınaqları asılı olmayan hadisələr olduğundan ilk n sınaqda "meymun" sözünün yaranmama ehtimalı

X_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}

olur.

n artdıqca X_n azalmaqdadır:

n = 1.000.000 üçün X_n ≈ 0.9999 (≈ %99.99),
n = 10.000.000.000 üçün X_n ≈ 0.53 (≈ %53) və
n = 100.000.000.000 üçün də X_n ≈ 0.0017 (≈ %0.17)-dir.

n sonsuza yaxınlaşdıqca X_n sıfıra yaxınlaşır. Beləliklə, n lazımınca böyük seçilərək X_n istənildiyi ölçüdə azaldıla bilinir^[2] və "meymun" yazılma ehtimalı 100%-ə yaxınlaşır. Eyni əsaslandırma sonsuz sayda meymundan ən az birinin bir mətni, yazı makinasını demək olar ki xətasız istifadə edə bilən bir insanla eyni müddətdə yaza biləcəyini də göstərir.

Bu halda

X_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}

bərabərliyində X_n, ilk n meymundan heç birinin "meymun" sözünü ilk sınaqda yaza bilməmə ehtimalını göstərməkdədir. Bu ehtimal 100 milyard meymun üçün %0.17-yə düşür və n sonsuzluğa yaxınlaşdıqca da X_n sıfıra yaxınlaşaraq azalır.

Amma ki, fiziki baxımdan mümkün sayda meymunun fiziki baxımdan real bir müddət boyunca yazma sınaqları etdiyi düşünüldüyündə, nəticə yuxarda əldə edilənin tərsi olur. Meymun sayı qavrana bilinən kainatdakı hissəcik sayına (10⁸⁰) bərabər olsa və hər meymun kainatın yaşının (10²⁰ saniyə) 100 qatı müddət boyunca saniyədə 1000 hərf yazabilsə, əldə edilən mətnin qısa bir kitabın belə tamamən eynisi olma ehtimalı sıfıra yaxındır.

Sonsuz mətnlər

Yuxarda açıqlanan iki nəticə sonlu bir əlifbadan seçilən hərflərin ardıcıllığı olan mətn yığımları kontekstində daha ümumi və sadə bir şəkildə ifadə edilə bilir: .... .... ....

Ehtimallar

Durğu işarələri, boşluq və böyük-kiçik hərf istifadəsi nəzərə alınmazsa, bir meymunun Hamletin ilk hərfini doğru yazma ehtimalı 26-da 1, ilk iki hərfini doğru yazma ehtimalı isə 676 (26 × 26)-da 1-dir. Ehtimal bu cür variantlar artdıqca kiçildiyi üçün, ilk 20 hərfin doğru yazılma ehtimalı

26²⁰ = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376-da (təxminən 2 × 10²⁸-də) 1-ə düşür. Hamletin tam forması düşünüldüyündə ehtimallar o qədər azalır ki, bu qiymətləri sıfırdan ayıra bilmək olduqca çətinləşir. Hamletin tam mətni təxminən 130.000 hərfdən ibarətdir.^[3]

Beləliklə, bu mətni ilk sınaqda doğru yazma ehtimalı 3.4 × 10^183.946-da 1-dir.

Doğru mətnin ortaya çıxması üçün lazım olan təxmini hərf sayı da 3.4 × 10^183.946-dır.^[4]

Durğu işarələri də nəzərə alınarsa, bu say 4.4 × 10^360.783-ə çatır.^[5]

Bütün kainat ilk gündən bu yana yazmaqla məşğul olan meymunlarla doldurulsa belə, Hamlet əsərinin tam ortaya çıxma ehtimalı 10^183.800-də 1-dən kiçik olacaqdır. Kittel və Kroemerin deyimiylə "Hamleti yazmaq ehtimalı, bir hadisənin həyata keçməsi reallıq ölçüsündə sıfırdır" və meymunların bu işi əvvəl-axır bacaracaqlarına dair ifadə "çox böyük ədədlər haqqında yanlış nəticələrə sabəb olur."^[6]

Tarix

Statistik mexanika

"Daktiloqraf" (yazıçı) meymunları (fransızca: singes dactylographes; fransızca singe sözü primat mənasına uyğundur) əsas götürən forma Emil Borelin 1913-cü ildə yazdığı "Mécanique Statistique et Irréversibilité" (Statistik mexanika və qayıtmazlıq)^[7] adlı məqaləsi və 1914-cü ildə yayımlanan "Le Hasard" adlı kitabında yer almışdır. Burada qeyd olunan "meymunlar" həqiqi varlıqları təmsil etməkdən daha çox, çox böyük bir təsadüfi hərf ardıcıllığı əmələ gətirmək üçün istifadə olunan simvolik bir üsulu bildirir. Borelə görə, bir milyon meymunun gündə on saat boyunca yazı yazması halında belə dünyanın ən zəngin kitabxanasında olan kitabların eynilə kopyalanması demək olar ki mümkün deyildir.

Artur Eddinqton The Nature of the Physical World (1928) adlı kitabında Boreli bu formada dəstəkləyir:

'Barmaqlarımı bir yazı makinasının düymələri üzərində gəzdirsəm yaranan uzun hərflər ardıcıllığı başa düşülən bir cümlə əmələ gətirə bilər. Bir meymun ordusu makinalara dayanmadan yüklənsə Britaniya Muzeyindəki bütün kitabları yaza bilərlər. Hə, əlbəttə bu ehtimal bir qab içərisindəki molekulların eyni tərəfdə toplanması ehtimalından yüksəkdir.' ^[8]

Bütün bu şərhlər çox böyük, lakin sonlu sayda meymunun önəmli bir iş meydana gətirməsinin inanılmaz dərəcədə kiçik ehtimalını müəyyən fiziki hadisələrin baş vermə ehtimalları ilə müqayisə edilməsini müzakirə mövzusu etmişdir. Meymunların müvəffəq olmasından daha az ehtimallı fiziki hadisələrin reallıqda mümkün olmadığı qətiyyətlə deyilə bilər.^[6]

Özüllər və "Əskiksiz Kitabxana"

Argentinalı yazıçı Corc Luis Borges 1939-cu ildə yazdığı "The Total Library" (Bütün Kitabxana) adlı məqaləsində sonsuz meymun anlayışını Aristotelin Metafizika adlı əsəri ilə əsaslandırır. Dünyanın atomların təsadüfən mövqe tutmalarından yarandığını düşünən Lefkipposun görüşlərini genişləndirən Aristotel, atomların homogen olduqlarını və əmələ gətirdikləri birləşmələrin sadəcə şəkil, mövqe və sıralamaya bağlı dəyişdiyini vurğulayır. Yunan filosof bu vəziyyəti De Generatione et Corruptione (Yaranma və Dağılma) adlı əsərində tragediya ilə komediyanın eyni atomlardan, yəni (mövcud) hərflərdən əmələ gəlməsi ilə müqayisə etmişdir.^[9] Siseronun üç yüz il sonra yayımladığı De natura deorum (Tanrıların Təbiəti) bu atomik baxışa qarşı çıxır:

'Bu baxışı müdafiə edən biri bunu da qəbul etməyə məcbur olacaqdır: Qızıldan və ya hər hansısa bir maddədən düzəldilmiş çox sayda hərf ortaya tökülərsə, bu hərflər elə bir düzülüşə sahib ola bilərlər ki Enniusun illikləri ilə eynilə bərabər olar. Şansın bu sətirlərin birini belə əmələ gətirə bilməsi fikrinə mən şübhə ilə baxaram.' ^[10]

Borges bu baxışı Blez Paskal və Conatan Sviftdə də təqib etmiş və yaşadığı dövrdə istifadə olunan ifadə formasının dəyişdiyinin şahidi olmuşdur. 1939-cu ildə artıq ən yayılmış forma "hamısı yazı makinasına sahib olan yarım düjün sayda meymunun British Museum-dakı bütün kitabları bir neçə sonsuzluq zaman bölümündə yaza biləcəkləri idi." (Borges "bir ölməz meymunun bu iş üçün kifayət olacağını" da əlavə etmişdir) Bundan başqa, Borges belə bir cəhdin sonuna qədər reallaşdırılması vəziyyətində meydana gələ biləcək "Əskiksiz Kitabxana"nın tərkibini xəyal etməyə başlamışdır:

Bu kitabxanada hər şey yer alırdı. Hər şey... Gələcəyin detallı keçmişi, Eşilosun Misirlilər adlı oyunu, Qanc sularında bir şahinin uçuşunun dəqiq olaraq neçə dəfə əks olunduğunun sayı, Romanın gizli və əsil reallıqları, Novalisin yazmağı planlaşdırdığı ensiklopediyanın bütün cildləri, 14 avqust 1934-cü il səhərə yaxın gördüyüm yuxular, Pier Fermat teoreminin isbatı, Edvin Drodun yazılmamış bölümləri, bu bölümlərin qaramant dilindəki qarşılığı, Berkeleyin zamana aid hazırladığı ancaq yayımlamadığı əksliklər,

Borgesin "Əskiksiz Kitabxana" anlayışı yazıçının 1941-ci tarixli çox oxunan "Babil Kitabxanası" adlı hekayəsinin ana xətlərini əmələ gətirir. Hekayə, bir-birinə bağlı altıbucaqlı bölmələrdən əmələ gələn və əlifbanın bütün hərfləri ilə bəzi durğu işarələrinin birlikdə əmələ gətirdiyi çoxluqdan əldə edilə bilinəcək bütün əsərləri özündə birləşdirən böyük bir kitabxanadan bəhs edir.

Tətbiqlər və tənqidlər

Tomas Huksley, adı çəkilən teoremin fərqli bir tətbiqini Samuel Vilberforsla etdiyi müzakirələrdə ortaya atmaqla bəzən yanlış şəkildə əlaqələndirir.

Təkamül

Eddinqtonun rəqibi Ceyms Cins 1931-ci ildə yayımlanan Sirli Kainat adlı kitabında meymun hekayəsini böyük bir ehtimalla Tomas Henri Huksleyə eyham vuraraq bir "Huksley"ə istinad etmişdir. Bu istinadın yanlış olduğu açıqdır.^[11]

Həqiqi meymunlar

Primatların davranış tədqiqatçıları Çeney və Seyfart həqiqi meymunların Romeo və Culietta əsərini yaza bilmələri üçün şansa ehtiyacları olduqlarını bildirirlər. İnsanabənzər meymunlar və şimpanzelərdən fərqli olaraq meymunlar bir zehnə sahib olmamaqla bərabər, öz düşüncə, duyğu və inancları ilə başqalarınınkılar arasında bir fərq qoya bilmirlər. Bir meymun tamaşa yazmağı öyrənsə və yaratdığı xarakterlərin davranışlarını təyin edə bilsə belə, onlar bu xarakterlərin zehinlərini sərgiləyə bilməyəcək və ironik bir tragediya yarada bilməyəcəkdir.^[12]

İstinadlar və qeydlər

↑ ""BBC News"". 2014-03-27 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2013-08-21.
↑ Richard E. Isaac, The Pleasures of Probability ,1995, ISBN = 038794415X, səh.48–50
↑ Project Gutenbergdən əldə edilə bilinən "Hamlet" mətni Arxivləşdirilib 2012-09-20 at the Wayback Machine, 132.680-i əlifba hərfi olmaqla, cəmi 199.749 xarakterdən ibarətdir.
↑ a-dan z-yə (ingilis əlifbasında) bütün hərfləri daxil edəcək şəkildə 130.000 hərfdən ibarət hər hansı bir mətni yazmaq üçün lazım olan hərf sayı təxminən 3.4 × 10^183.946-dır.
↑ 26 × 2 (böyük-kiçik hərflər) + 12 (durğu işarələri) = 64 xarakter və buradan, 199749 × log₁₀(64) = 4.4 × 10^360.783
↑ ¹ ² Charles Kittel & Herbert Kroemer, Thermal Physics (2-ci nəşr), 1980, ISBN=0-7167-1088-9, səh.53
↑ Émile Borel, Mécanique Statistique et Irréversibilité, J. Phys. 5e série, 3-cü cild, 1913, səh.189–196}}
↑ Arthur Eddington, The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures, Macmillan, 1928, New York, səh.72. ISBN=0-8414-3885-4
↑ Aristotel, De Generatione et Corruptione, 315b14
↑ Marcus Tullius Cicero, De natura deorum, 2.37. Cicero's Tusculan Disputations, Treatises On The Nature Of The Gods, And On The Commonwealth C. D. Yonge, New York, Harper & Brothers Publishers, Franklin Square (1877) adlı əsərdən ingilis dilinə tərcümə - yüklənilə bilən mətn Arxivləşdirilib 2007-09-29 at the Wayback Machine
↑ Thanu Padmanabhan , The dark side of astronomy, Nature, cild = 435, səh. 20–21, il = 2005, doi=10.1038/435020a
↑ Cheney, Dorothy L. & Robert M. Seyfarth, How Monkeys See the World: Inside the Mind of Another Species, University of Chicago Press, 1992, İSBN=0-226-10246-7, səh=253–255

[1] ""BBC News"". 2014-03-27 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2013-08-21.

[2] Richard E. Isaac, The Pleasures of Probability ,1995, ISBN = 038794415X, səh.48–50

[3] Project Gutenbergdən əldə edilə bilinən "Hamlet" mətni Arxivləşdirilib 2012-09-20 at the Wayback Machine, 132.680-i əlifba hərfi olmaqla, cəmi 199.749 xarakterdən ibarətdir.

[4] -dan z-yə (ingilis əlifbasında) bütün hərfləri daxil edəcək şəkildə 130.000 hərfdən ibarət hər hansı bir mətni yazmaq üçün lazım olan hərf sayı təxminən 3.4 × 10^183.946-dır.

[5] 26 × 2 (böyük-kiçik hərflər) + 12 (durğu işarələri) = 64 xarakter və buradan, 199749 × log₁₀(64) = 4.4 × 10^360.783

[Charles_Kittel_1980-6] ¹ ² Charles Kittel & Herbert Kroemer, Thermal Physics (2-ci nəşr), 1980, ISBN=0-7167-1088-9, səh.53

[7] Émile Borel, Mécanique Statistique et Irréversibilité, J. Phys. 5e série, 3-cü cild, 1913, səh.189–196}}

[8] Arthur Eddington, The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures, Macmillan, 1928, New York, səh.72. ISBN=0-8414-3885-4

[9] Aristotel, De Generatione et Corruptione, 315b14

[10] Marcus Tullius Cicero, De natura deorum, 2.37. Cicero's Tusculan Disputations, Treatises On The Nature Of The Gods, And On The Commonwealth C. D. Yonge, New York, Harper & Brothers Publishers, Franklin Square (1877) adlı əsərdən ingilis dilinə tərcümə - yüklənilə bilən mətn Arxivləşdirilib 2007-09-29 at the Wayback Machine

[11] Thanu Padmanabhan , The dark side of astronomy, Nature, cild = 435, səh. 20–21, il = 2005, doi=10.1038/435020a

[12] Cheney, Dorothy L. & Robert M. Seyfarth, How Monkeys See the World: Inside the Mind of Another Species, University of Chicago Press, 1992, İSBN=0-226-10246-7, səh=253–255

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]