Triqonometriya

Üçbucaqların bucaq və tərəflərini öyrənən elm

Triqonometriya (yunanca τρίγωνο trígono „üçbucaq" və μέτρον métron „ölçü") - həndəsənin və bununla riyaziyyatın bir hissəsi olub üçbucaqların tərəflərinin uzunluğu və bucaqları arasındakı münasibətləri öyrədir. Əgər məsələlərin həlli müstəvidə baxılarsa onda bu müstəvi triqonometriyası adlanır, fəzada baş verənlərlə sferik triqonometriya və hiberbolik triqonometriya məşğul olur.

θ bucağının bütün triqonometrik funksiyaları onu əhatə edən, mərkəzi O olan çevrədə qurula bilər.

Triqonometriyanın əsas vəzifəsi üçbucağın verilmiş üç parametri (yan tərəfi, bucağı, meridian və s.) əsasında yerdə qalanlarını təyin etməkdən ibarətdir. Köməkçi vasitə kimi triqonometrik funksiyalardan sin, cos, tan, cot, seccsc tətbiq edilir. triqonometrik hesabatlar həmçinin daha mürəkkəb həndəsi fiqurlara (poliqonlar, stereometriyadakı fiqurlar) da tətbiq edilə bilər.

Düzbucaqlı üçbucaqda triqonometriyaRedaktə

Triqonometrik məsələlərin həlli düzbucaqlı üçbucaqda nisbətən sadədir. Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180° olduğundan düzbucaqlı üçbucaqlarda düzbucaq ən böyük bucaqdır. Onun qarşısında ən böyük tərəf – hipotenuz durur. Yerdə qalan iki qısa tərəf katetlərdir.

Düzbucaqlı üçbucaq üçün bəllidir:

  • Verilmiş bucağın Sinusu = Qarşı katet/Hipotenuz
  • Verilmiş bucağın Kosinusu = Qonşu katet/Hipotenuz
  • Verilmiş bucağın Tangensi = Qarşı katet/Qonşu katet
  • Verilmiş bucağın Kotangensi = Qonşu katet/Qarşı katet
  • Verilmiş bucağın Sekansı = Hipotenuz/Qonşu katet
  • Verilmiş bucağın Kosekansı = Hipotenuz/Qarşı katet

Buradan güründüyü kimi, üçbucağın yalnız bucaqlarının qiymətləri verilərsə onda onun tərəflərini tapmaq çətinlik yaradır. Belə ki, eyni bucqlara malik üçbucaqların tərəfləri müxtəlif uzunluğa malik ola bilər. Ancaq bucaqları eyni olan üçbucalar oxşardırlar.

Triqonometrik funksiyaların vahid çevrədə təyiniRedaktə

Yuxarıda göstərilən təyinatlar yalnız bucağın qiymətinin 90°-dən kiçik olduğu halda tətbiq oluna bilərlər. Radiusu vahidə (1) bərabər olan çevrə triqonometriyanın imkanlarını genişləndirməyə imkan verir. Verilmiş bucağa çevrə üzərində bir nöqtə göstərilir. Dekart koordinat sistemində bu nöqtənin x koordinatı bucağın kosinusuna, z koordinatı isə sinusa bərabər olur.

Yuxarıda sinus və kosinus haqqında verilmiş düsturlar 90°-dən də artıq bucaqlara aid edilə bilir. Çevrədən göründüyü kimi bucaqlar 90°-180°, 180°-270°, 270°-360° arasında dəyişdikcə triqonometrik funksiyaların da işarələri dəyişir.

Əlavə olaraq aşağıdakı 4 triqonometrik funskiya daxil edilir:

 
 
 
 

Ümumi çevrədə triqonometriyaRedaktə

Verilmiş istənilən çevrə daxilində də triqonometrik asılılıqlar təyin edilib. Bu asılılıqlar naməlum tərəfin uzunluğunu və ya bucağın qiymətini təyin etməyə imkan verir. Ən geniş yayılmışı sinuslar və kosinuslar teoremdiir.

Sinuslar teoremi aşağıdakı kimi ifadə edilir:

 

Bundan istifadə etmək üçün gərək iki tərəf və onların qarışısında yerləşən bucaqdan biri, və ya iki bucaq və bir tərəf məlum olsun.

 
 
 

Tətbiq sahələriRedaktə

Triqonometriya bir çox sahələrdə əsas rol oynayır. Geodeziyada verilmiş nöqtələri birləşdirməklə yaradılan topologiyada trianqulyasiyadan istifadə edilir. Astronomiyada bu üsulla planetlərin arasındakı məsafələr təyin edilir. Triqonometriya eynilə təyyarələrin və gəmilərin naviqasiya edilməsində sferik stronomiya adı ilə tətbiq edilir. Ulduz və planetlərin mövqelərini də bu üsulla təyin etmək mümkündür.

Fizikada sinus və kosinus funksiyalarından rəqslər və dalğaların riyazi təsvir olunmasında istifadə olunur. Dəyişən cərəyanda gərginliyinin və cərəyan şiddətinin zamandan asılı olaraq dəyişməsi də triqonometrik funksiyların köməyi ilə təsvir edilir.

Ümumi məlumatRedaktə

Triqonometriyanın dünyaya gəlməsi müsəlmanların böyük səylə məşğul olduğu astronomiya ilə bağlıdır ki, bu da namazın dəqiq vaxtını müəyyən etmək baxımından onlar üçün xüsusi əhəmiyyət kəsb edirdi. Lakin hələ müsəlmanlara qədər yunan astronomları Günəşin, Ayın və o zamanlar məlum olan beş planetin necə hərəkət etdiyini anlamaq üçün bəzi üçbucaqların tərəflərinin uzunluğunu və bucaqlarının ölçüsünün digər tərəflərin və bucaqların ölçülərinə əsasən hesablayırdılar. Günəşin, Ayın və digər ulduzların yerləşmə məsələləri ilə maraqlanan yunanlar həndəsi məsələlərin həllinə nail olmağa şərait yaradan cədvəllər tərtib etdilər və qaydalar müəyyən etdilər.

Bu mövzular eramızın II əsrinin əvvəlində və ortasında İskəndəriyyədə işləyən astronom, Ptolemey tərəfindən yazılmış “Almaqest” kitabında daha geniş nəzərdən keçirilir. Ptolemeyin elmi əsəri avropa alimlərinin əlinə müsəlmanların vasitəsi ilə keçmiş və həmən kitabı orjinal yunan adı ilə “Nəhəng nizam”, daha qısas isə “Al-madjisti”, yəni “Əzəmətli” adlandırmışlar. Qədim antik dövrün astronomları onların qarşısına çıxan müstəvi triqonometriyası məsələsini həll etməkdən ötrü ilk öncə “Almaqest”in ilk kitabındakı “Ətrafın xorda (əyri xəttin iki nöqtəsini birləşdirən düz xətt) cədvəli”ndən istifadə etdi. 1800 çərçivəsində (yarımdərəcə addım atmaqla) olan qövs və bucaqlar üçün bu cədvəl 60 vahid radiusa malik oaln dairədə bucaqlarla əks tərəfdə duran vətərlərin uzunluğunu göstərir.

XIII əsr müsəlman astronomu Ət-Tusi özünün “Kəsik fiqurlar haqqında” əsərində bu vətərlərin uzunluq cədvəlinin düzbucaqlı üçbucaqlarla bağlı məsələlərin həlli zamanı necə tətbiq olunmasına izah vermişdir. Üçbucaqların digər çevrələrlə əlaqəsini müəyyən edən əsas müşahidələr məhz ona məxsusdur: istənilən üçbucaq dairəyə daxil edilə bilər – beləliklə onun tərəflərini, bucaqları ilə əks mövqedə dayanan qövslərini bitişdirən vətərlər kimi nəzərdən keçirmək olar.

Lakin bu cədvəllərdən istifadə iki maneə ilə çətinləşir. Birincisi, düzbucaqlı üçbucaqda tərəflərin uzunluğunu və bucaqların miqdarını müəyyən edən zaman meydana gələ bilən bütün məsələlərin həlli üçün cədvəldə xeyli manipulyasiyalar etmək və bir sıra aralıq addımlar atmaq tələb olunurdu. Bu, müasir metodlarla nəzərdə tutulanlardan və bizim üçün adi hal olan və ilk dəfə müsəlmanlar tərəfindən sistemləşdirilən altı triqonometrik funksiyanın – sinus, kosinus və tangensin və ona əks olan ölçülərin tətbiq olunmasından gözə çarpacaq dərəcədə fərqlənirdi. Vətərlərin uzunluq cədvəlinin ikinci nöqsan cəhəti onların qövsün uzunluğunu ölçmək üçün tez-tez bucaqların ikiqat artırılmasını tələb etmələri idi.

Bir çox müsəlman alimi hələ X əsrə qədər triqonometriyanın əsasını qoymuşlar – Tusi nəticədə ona tamamlanmış forma verməklə onları topladı və sistemləşdirərək elmə töhfəsini verdi. Onlardan biri də Triqonometriya tarixində ən nüfuzlu fiqurlardan olan Hərran (Türkiyə) sakini Əl-Bəttani idi. O, ən böyük müsəlman astronomu və riyaziyyatçısı hesab olunur. O, 929-cu ildə Samirrada (İraqda) vəfat edib. Onu triqonometrik axtarışlara sövq edən məsələ planetlərin hərəkətlərinə dair müşahidələri idi. Onun haqqında daha çox məlumatı “Astronomiya” bölməsinin “Kainat” başlığından əldə etmək olar.

Min il əvvəl müsəlman alimləri planetlərin hərəkətini müşahidə edərək, əvvəllər bilinməyən məsafələrin və bucaqların ölçülərini müəyyən etməklə triqonometriyanın öyrənilməsində birinci olmuşdular. Bu gün bu fənn, sferik triqonometriya daxil olmaqla, astronomiyanın, kartoqrafiyanın və naviqasiyanın mürəkkəb problemlərinin həllində istifadə olunur.

Vacib odurki, əl-Battani öz riyazi əməliyyatları haqqında izahat verirdi və əməyinin nailiyyətlərini yaxşılaşdırmaq və çoxaltmaq üçün "müşahidəni və tədqiqatları davam etməyə” digərlərini sövq edirdi. Əbu-l-Vəfa, İbn Yunus və İbn əl-Heysam, əl-Battani kimi sferik triqonometriyanı inkişaf etdirirdilər və onu astronomik problemlərin həlli üçün tətbiq edirdilər.

Əl-Battani sinus və kosinus anlayışlarını birinci istifadə etmişdi, ancaq onlara bu gün bizə tanış olan nisbətlər kimi yox, daha çox uzunluq kimi baxırdı. O, divarın içərisinə girmiş xəyali bir üfüqi çubuğun kölgəsini nəzərdə tutaraq, tangensi “uzanmış kölgə” adlandırırdı. XI əsrdə əl-Biruni tangensi və kotangensi triqonometrik funksiyalar kimi təyin etdi. İlkin formada bunların haqqında fikirlər hindlilərdən götürülmüşdür.

Əl-Biruni (973-cü il təvəllüdlü) müasir triqonometriyanın əsasını qoyanlardan biri olmuşdur. Əl-Xorəzmi (780-ci il təvəllüdlü) sinus və kosinus doktrinasını inkişaf etdirmişdir və sonralar Qərb tərəfindən götürülmüş triqonometrik cədvəlləri işləyib hazırlamışdır. Ancaq 500 il keçəndən sonra, tangenslərlə bağlı triqonometriya sahəsi Yeni dövrün riyaziyyatçıları tərəfindən aşkar edildi, və yenə 100 ildən sonra Nikolay Kopernik buna diqqət yetirdi.

MənbəRedaktə

  • Wolfgang Pauli: Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik: Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. 1991, ISBN 3-446-00755-5, KNO-NR: 04 41 57 51

Həmçinin baxRedaktə