Triqonometriya

Triqonometriya izahı (yunanca τρίγωνο trígono „üçbucaq" və μέτρον métron „ölçü") - həndəsənin və bununla riyaziyyatın bir hissəsi olub üçbucaqların tərəflərinin uzunluğu və bucaqları arasındakı münasibətləri öyrədir. Əgər məsələlərin həlli müstəvidə baxılarsa onda bu müstəvi triqonometriyası adlanır, fəzada baş verənlərlə sferik triqonometriya və hiberbolik triqonometriya məşğul olur.

θ bucağının bütün triqonometrik funksiyaları onu əhatə edən, mərkəzi O olan çevrədə qurula bilər.

Triqonometriyanın əsas vəzifəsi üçbucağın verilmiş üç parametri (yan tərəfi, bucağı, meridian və s.) əsasında yerdə qalanlarını təyin etməkdən ibarətdir. Köməkçi vasitə kimi triqonometrik funksiyalardan sin, cos, tan, cot, sec və csc tətbiq edilir. triqonometrik hesabatlar həmçinin daha mürəkkəb həndəsi fiqurlara (poliqonlar, stereometriyadakı fiqurlar) da tətbiq edilə bilər.

Düzbucaqlı üçbucaqda triqonometriya

Triqonometrik məsələlərin həlli düzbucaqlı üçbucaqda nisbətən sadədir. Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180° olduğundan düzbucaqlı üçbucaqlarda düzbucaq ən böyük bucaqdır. Onun qarşısında ən böyük tərəf – hipotenuz durur. Yerdə qalan iki qısa tərəf katetlərdir.

Düzbucaqlı üçbucaq üçün bəllidir:

Verilmiş bucağın Sinusu = Qarşı katet/Hipotenuz
Verilmiş bucağın Kosinusu = Qonşu katet/Hipotenuz
Verilmiş bucağın Tangensi = Qarşı katet/Qonşu katet
Verilmiş bucağın Kotangensi = Qonşu katet/Qarşı katet
Verilmiş bucağın Sekansı = Hipotenuz/Qonşu katet
Verilmiş bucağın Kosekansı = Hipotenuz/Qarşı katet

Buradan güründüyü kimi, üçbucağın yalnız bucaqlarının qiymətləri verilərsə onda onun tərəflərini tapmaq çətinlik yaradır. Belə ki, eyni bucaqlara malik üçbucaqların tərəfləri müxtəlif uzunluğa malik ola bilər. Ancaq bucaqları eyni olan üçbucaqlar oxşardırlar.

Triqonometrik funksiyaların vahid çevrədə təyini

Yuxarıda göstərilən təyinatlar yalnız bucağın qiymətinin 90°-dən kiçik olduğu halda tətbiq oluna bilərlər. Radiusu vahidə (1) bərabər olan çevrə triqonometriyanın imkanlarını genişləndirməyə imkan verir. Verilmiş bucağa çevrə üzərində bir nöqtə göstərilir. Dekart koordinat sistemində bu nöqtənin x koordinatı bucağın kosinusuna, z koordinatı isə sinusa bərabər olur.

Yuxarıda sinus və kosinus haqqında verilmiş düsturlar 90°-dən də artıq bucaqlara aid edilə bilir. Çevrədən göründüyü kimi bucaqlar 90°-180°, 180°-270°, 270°-360° arasında dəyişdikcə triqonometrik funksiyaların da işarələri dəyişir.

Əlavə olaraq aşağıdakı 4 triqonometrik funskiya daxil edilir:

\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}

\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}

\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}

\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}

Ümumi çevrədə triqonometriya

Verilmiş istənilən çevrə daxilində də triqonometrik asılılıqlar təyin edilib. Bu asılılıqlar naməlum tərəfin uzunluğunu və ya bucağın qiymətini təyin etməyə imkan verir. Ən geniş yayılmışı sinuslar və kosinuslar teoremdiir.

Sinuslar teoremi aşağıdakı kimi ifadə edilir:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

Bundan istifadə etmək üçün gərək iki tərəf və onların qarışısında yerləşən bucaqdan biri, və ya iki bucaq və bir tərəf məlum olsun.

a^{2}\,=\,b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

b^{2}\,=\,a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

Tətbiq sahələri

Triqonometriya bir çox sahələrdə əsas rol oynayır. Geodeziyada verilmiş nöqtələri birləşdirməklə yaradılan topologiyada trianqulyasiyadan istifadə edilir. Astronomiyada bu üsulla planetlərin arasındakı məsafələr təyin edilir. Triqonometriya eynilə təyyarələrin və gəmilərin naviqasiya edilməsində sferik stronomiya adı ilə tətbiq edilir. Ulduz və planetlərin mövqelərini də bu üsulla təyin etmək mümkündür.

Fizikada sinus və kosinus funksiyalarından rəqslər və dalğaların riyazi təsvir olunmasında istifadə olunur. Dəyişən cərəyanda gərginliyinin və cərəyan şiddətinin zamandan asılı olaraq dəyişməsi də triqonometrik funksiyaların köməyi ilə təsvir edilir.

Mənbə

Wolfgang Pauli: Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik: Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. 1991, ISBN 3-446-00755-5, KNO-NR: 04 41 57 51