Orta əsrlərdə İslam ölkələrində riyaziyyat

İslamın qızıl dövründə, xüsusilə IX-X əsrlərdə riyaziyyat, Yunan riyaziyyatı (Evklid, Arximed, Perqalı Apolloni) və hind riyaziyyatı (Ariabhata, Brahmaqupta) üzərində qurulmuşdur. Mövqeli say sisteminə onluq kəsrlərin daxil edilməsi ilə cəbrin ilk sistemləşdirilmiş tədqiqi, həndəsə və triqonometriyada əhəmiyyətli irəliləyiş əldə edildi.^[1]

X-XII əsrlərdə riyaziyyatın Avropaya yayəlmasında ərəb əsərləri mühüm rol oynamışdır.^[2]

Anlayışlar

Cəbr

Adı ərəbcədən tamamlama və ya "qırıq hissələrin birləşməsi" sözündən götürülən cəbr elmi İslamın qızıl dövründə inkişaf etmişdir. Bağdaddakı Hikmət Evində fars alimi Əl-Xarəzmi cəbrin banisi olub, cəbrin atası kimi tanınan yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Diofantla bir anılıb. Əl-Xarəzmi özünün “Tamamlama və balanslaşdırma yolu ilə hesablama haqqında geniş kitab” əsərində birinci və ikinci dərəcəli (xətti və kvadrat) çoxhədli tənliklərin müsbət köklərinin həlli yollarından bəhs edir. O, reduksiya metodunu təqdim edir və Diofantdan fərqli olaraq, məşğul olduğu tənliklərin ümumi həllərini də verir. ^[3]^[4]^[5]

Əl-Xarəzminin cəbri ritorik idi, yəni tənliklər tam cümlələrlə yazılmışdır. Bu, Diofantın cəbri işindən fərqli idi, hansı ki, bəzi simvollardan istifadə olunub. Yalnız simvolların istifadə edildiyi simvolik cəbrə keçidi İbn Bənna və Əbu əl-Həsən ibn Əli əl-Qələsadinin əsərlərində görmək olar.

Əl-Xarəzminin gördüyü işlər haqqında J.Okonnor və Edmund Robertson deyirdilər:

“Ola bilsin ki, ərəb riyaziyyatının əldə etdiyi ən mühüm irəliləyişlərdən biri bu dövrdə cəbrin başlanğıcı yəni Əl-Xarəzminin əsəri ilə başlamışdır. Bu yeni ideyanın nə qədər əhəmiyyətli olduğunu başa düşmək vacibdir. Cəbr rasional ədədlərin, irrasional ədədlərin, həndəsi böyüklüklərin və s.-nin hamısını "cəbr obyektləri" kimi qəbul etməyə imkan verən birləşdirici nəzəriyyə idi. Bu, riyaziyyata əvvəllər mövcud olandan daha geniş konsepsiyada tamamilə yeni bir inkişaf yolu verdi və mövzunun gələcək inkişafı üçün bir vasitə təmin etdi.

Maktütor Riyaziyyat Tarixi Arxivi

Bu dövrdə bir neçə başqa riyaziyyatçı Əl-Xarəzminin cəbrini genişləndirdi. Əbu Kamil həndəsi təsvirlər və sübutların yer aıdığı cəbr kitabı yazdı. O, bəzi problemlərin bütün mümkün həll yollarını da sadaladı. Əbu əl-Cud, Ömər Xəyyam, Şərəfəddin Tusi ilə birlikdə kub tənliyinin bir neçə həllini tapdılar.

Kub tənlikləri

Üçüncü dərəcəli x³ + a²x = b tənliyini həll etmək üçün Xəyyam x² = ay parabolası, diametri b/a² olan dairə və kəsişmə nöqtəsindən şaquli xətt qurur. Həll üfüqi xətt seqmentinin başlanğıcdan şaquli xəttin və x oxunun kəsişməsinə qədər olan uzunluğu ilə verilir.

Ömər Xəyyam (təxminən 1038/48, İranda – 1123/24) Əl-Xarəzminin Cəbrindən kənara çıxaraq kub və ya üçüncü dərəcəli tənliklərin sistemli həllini özündə əks etdirən “Cəbr məsələlərinin nümayişi haqqında traktat” yazmışdı.^[6] Xəyyam bu tənliklərin həllini iki konus kəsiyinin kəsişmə nöqtələrini tapmaqla əldə edib. Bu üsul yunanlar tərəfindən istifadə edilmişdir,^[7] lakin onlar müsbət kökləri olan bütün tənlikləri əhatə etmək üçün metodu ümumiləşdirməmişlər.^[6]

Şərəfəddin Tusi (? Tus, İran – 1213/4) kub tənliklərinin tədqiqinə yeni bir yanaşmanı inkişaf etdirərək kub çoxhədlinin maksimum dəyərini əldə etdiyi nöqtənin tapılmasında böyük rol oynayıb. Məsələn, a və b müsbət olan $\ x^{3}+a=bx$ tənliyini həll etmək üçün o qeyd edərdi ki, əyrinin maksimum nöqtəsi $\ y=bx-x^{3}$ və $x=\textstyle {\sqrt {\frac {b}{3}}}$ tənliyin həlli olmayacaq və həmin nöqtədə əyrinin hündürlüyünün a-dan kiçik, bərabər və ya böyük olmasından asılı olaraq tənliyin heç bir həlli, bir və ya iki həlli olmayacaqdır. Onun dövrümüzə gəlib çatan əsərləri bu əyrilərin maksimalları üçün düsturları necə kəşf etdiyinə dair heç bir məlumat vermir. Onun kəşfini izah etmək üçün müxtəlif fərziyyələr irəli sürülüb.^[8]

İnduksiyası

Riyazi induksiyanın ən erkən izləri Evklidin sayının sonsuz olduğunu sübut etməsində (e.ə. 300-cü il) tapıla bilər. İnduksiya prinsipinin ilk açıq ifadəsini Paskal özünün Traité du triangle athmétique (1665) əsərində vermişdir.

Arada arifmetik ardıcıllıqlar üçün induksiya yolu ilə gizli sübut Əl-Kəraçi (təxminən 1000) tərəfindən təqdim edilmiş və Tusi-Paskal üçbucağının binom teoreminin xüsusi halları və xassələri Samuil Əbu-Nasir ibn-Abbas tərəfindən davam etdirilmişdir.

İrrasional ədədlər

İrrasional ədədləri, onlardan məmnun olmasalar belə yunanlar kəşf etmişdilər. Yunanlara görə, böyüklüklər davamlı olaraq dəyişirdi və rəqəmlər diskret olduğu halda, xətt seqmentləri kimi məsələlər üçün istifadə edilə bilərdi. Beləliklə, irrasional ədədlər yalnız həndəsi şəkildə idarə oluna bilərdi; həqiqətən də yunan riyaziyyatının əsası həndəsi idi. Əbu Kamil Şüca ibn Əsləm və İbn Tahir əl-Bağdadi də daxil olmaqla İslam riyaziyyatçıları yavaş-yavaş böyüklük və ədəd arasındakı fərqi aradan qaldıraraq irrasional kəmiyyətlərin tənliklərdə əmsal kimi görünməsinə və cəbri tənliklərin həlli olması üçün işlər gördülər.^[9]Onlar riyazi məsələlər kimi irrasionallarla sərbəst işləyirdilər, lakin onların təbiətini yaxından araşdırmırdılar.^[10]

XII əsrdə Əl-Xarəzminin “Arifmetika” əsərinin hind rəqəmləri üzrə latın dilinə tərcüməsi Qərb dünyasına onluq mövqe say sistemini təqdim etdi.^[11] Onun tamamlama və tarazlaşdırma yolu ilə hesablama haqqında geniş kitabında xətti və kvadrat tənliklərin ilk sistemli həllini təqdim etdi. İntibah Avropasında o, cəbrin ilk ixtiraçısı hesab olunurdu, baxmayaraq ki, onun işinin daha qədim hind və ya yunan mənbələrinə əsaslandığı indi hər kəsə məlumdur.^[12]^[13] O, Ptolemeyin “Coğrafiya” əsərini yenidən işləyib, astronomiya və astrologiyaya dair yazılar yazıb. Bununla belə, C.A. Nallino bildirir ki, Əl-Xarəzminin orijinal əsəri Ptolemeyə deyil, ehtimal ki, suriyalı və ya ərəbcə olan törəmə dünya xəritəsinə əsaslanır.

Sferik triqonometriya

Sinusların sferik qanunu X əsrdə kəşf edilmişdir: o, Əbu-Mahmud Xocəndi, Nasirəddin əl-Tusi və Əbu Nəsr Mənsur, Əbü-l-Vəfa Buzcani ilə müxtəlif şəkildə aid edilmişdir.^[9] İbn Muaz əl-Ceyyaninin XI əsrdə sferanın naməlum qövsləri kitabı sinusların ümumi qanununu haqda məlumatları ətraflı şəkildə çatdırırdı. Sinusların müstəvi qanunu XIII əsrdə Nəsirəddin Tusi tərəfindən təsvir edilmişdir. O, “Sektor haqqında şəklə” əsərində müstəvi və sferik üçbucaqlar üçün sinuslar qanununu bəyan etmiş və bu qanuna sübutlar vermişdir.^[14]

Mənfi ədədlər

IX əsrdə İslam riyaziyyatçıları hind riyaziyyatçılarının əsərlərindən mənfi rəqəmlərlə tanış idilər, lakin bu dövrdə mənfi ədədlərin tanınması və istifadəsi bir o qədər geniş yayılmamışdır.^[15] Əl-Xarəzmi mənfi ədədlərdən və mənfi əmsallardan istifadə etməyib. Amma əlli il ərzində Əbu Kamil vurmanı genişləndirmək üçün $(a\pm b)(c\pm d)$ ^[16] işarələrin qaydalarının təsvirini verdi. Əl-Kəraçi “əl-Fəxri” kitabında yazırdı ki, “mənfi kəmiyyətlər şərt kimi hesab edilməlidir”. X əsrdə Əbu əl-Vəfa əl-Buzcani “Arifmetika Elmindən Ariflər üçün nə lazımdır” adlı kitabındakı borcları mənfi rəqəmlər hesab etmişdir.^[16]

XII əsrə qədər Əl-Kəraçinin davamçıları işarələrin ümumi qaydalarını bəyan etməli və onlardan çoxhədli bölmələri həll etmək üçün istifadə etməli idilər. Əs-Səmauil yazır:

mənfi ədədin - ən-naqis - müsbət ədəd - əl-zaid - hasili mənfidir, mənfi ədədlə isə müsbətdir. Daha yüksək mənfi ədəddən mənfi ədədi çıxarsaq, qalanı onların mənfi fərqidir. Aşağı mənfi ədəddən mənfi ədədi çıxarsaq, fərq müsbət olaraq qalır. Müsbət ədəddən mənfi ədədi çıxarsaq, qalan onların müsbət cəmidir. Boş qüvvədən (mərtəbə xəliyyə) müsbət ədədi çıxarsaq, qalıq eyni mənfidir və boş bir dərəcədən mənfi ədədi çıxarsaq, qalan eyni müsbət ədəddir.^[15]

İkiqat yanlış mövqe

IX-X əsrlər arasında misirli riyaziyyatçı Əbu Kamil ikiqat yalan mövqedən istifadə haqqında “İki səhvin kitabı” (Kitabu-l-xatā'ayn) kimi tanınan, indi itmiş traktatını yazdı. Yaxın Şərqdən ikiqat yalan mövqeyə dair günümüzə qədər gəlib çatan ən qədim yazı Livan Bəəlbəkdən olan ərəb riyaziyyatçısı Qusta ibn Luqanın (X əsr) yazısıdır. O, texnikanı rəsmi, Evklid üslubunda həndəsi sübutla əsaslandırdı. İslamın qızıl dövrü müsəlman riyaziyyatı ənənəsi daxilində ikiqat yanlış mövqe Kitabu-l-xatā'ayn ("İki səhvin kitabı") kimi tanınırdı. Əsrlər boyu ondan ticarət və hüquqi məsələlər (Quran irsi qaydalarına görə mülk bölgüsü) kimi praktiki problemlərin həlli üçün, eləcə də sırf əyləncə problemlərinin həlli üçün istifadə edilmişdir. Alqoritm çox vaxt İbn əl-Yəsəminə aid edilən ayə və hər biri Mərakeş mənşəli riyaziyyatçılar olan əl-Həssar və İbn Bənna tərəfindən izah edilən balans miqyası diaqramları kimi mnemonikaların köməyi ilə yadda saxlanılırdı. ^[17]

Digər əsas rəqəmlər

2019-cu ildə İslam elmləri tarixçisi Salli P.Raqep bildirir ki, riyaziyyat elmləri və fəlsəfə üzrə "on minlərlə" ərəb əlyazması oxunmamış qalır.

İbn Türk (kvadrat)
Sabit ibn Kurra (826–901)
Sənad ibn Əli (864-cü ildən sonra vəfat edib)
Cəzari (1136–1206)
Əbu Səhl əl-Quhi (940–1000) (ağırlıq mərkəzləri)
Əbül Həsan əl-Uqlidisi (952–953) (hesab)
Əl Qabisi (967-ci ildə vəfat edib)
İbn Heysəm ( 965–1040)
Biruni (973–1048) (triqonometriya)
İbn Maḍə (1116–1196)
Qiyasəddin Cəmşid (c. 1380–1429) (onluqlar və çevrə sabitinin qiymətləndirilməsi)

Qalereya

Konik kəsiklər çəkmək üçün Əbu Səhl əl-Quhinin mükəmməl kompası.
İbn Heysəm teoremi.

Həmçinin bax

Ərəb rəqəmləri

Ədəbiyyat

Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // Victor J. Katz (redaktor). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (2nd). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 2007. ISBN 978-0-691-11485-9.
Boyer, Carl B, Greek Trigonometry and Mensuration, and The Arabic Hegemony // A History of Mathematics (2nd), New York City: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 0-471-54397-7
Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. HarperCollins college publishers. 1993. ISBN 0-673-38039-4.
Al-Ḥuwārismī e il suo rifacimento della Geografia di Tolomeo // Raccolta di scritti editi e inediti (italyan), V, Rome: Istituto per l'Oriente, 1939, 458–532
Rosen, Fredrick. The Algebra of Mohammed Ben Musa. Kessinger Publishing. 1831. ISBN 1-4179-4914-7.
Smith, David E. History of Mathematics. Dover Publications. 1958. ISBN 0-486-20429-4.
A Concise History of Mathematics (4th rev.), Dover Publications, ISBN 0-486-60255-9

İslam riyaziyyatı üzrə kitablar

Berggren, J. Lennart. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. New York: Springer-Verlag. 1986. ISBN 0-387-96318-9.
Toomer, Gerald J.; Berggren, J. L. "Episodes in the Mathematics of Medieval Islam". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 95 (6). 1988: 567. doi:10.2307/2322777. JSTOR 2322777.
Hogendijk, Jan P.; Berggren, J. L. "Episodes in the Mathematics of Medieval Islam by J. Lennart Berggren". Journal of the American Oriental Society. American Oriental Society. 109 (4). 1989: 697–698. doi:10.2307/604119. JSTOR 604119.
Daffa', Ali Abdullah al-. The Muslim contribution to mathematics. London: Croom Helm. 1977. ISBN 0-85664-464-1.
Ronan, Colin A. The Cambridge Illustrated History of the World's Science. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-25844-8.
Rashed, Roshdi. The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Translated by A. F. W. Armstrong. Springer. 2001. ISBN 0-7923-2565-6.
Youschkevitch, Adolf P.; Rozenfeld, Boris A. Die Mathematik der Länder des Ostens im Mittelalter. Berlin. 1960. Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft pp. 62–160.
Youschkevitch, Adolf P. Les mathématiques arabes: VIII^e–XV^e siècles. translated by M. Cazenave and K. Jaouiche. Paris: Vrin. 1976. ISBN 978-2-7116-0734-1.

İslam elminə aid kitablar
Book chapters on Islamic mathematics

Cooke, Roger. Islamic Mathematics // The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. 1997. ISBN 0-471-18082-3.

İslam elminə aid kitablar

Daffa, Ali Abdullah al-. Studies in the exact sciences in medieval Islam. New York: Wiley. 1984. ISBN 0-471-90320-5.
Kennedy, E. S. Studies in the Islamic Exact Sciences. Syracuse Univ Press. 1984. ISBN 0-8156-6067-7.

Riyaziyyat tarixinə aid kitablar

Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (2nd). Princeton University Press. 2000. ISBN 0-691-00659-8. (Reviewed: Katz, Victor J.; Joseph, George Gheverghese. "The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics by George Gheverghese Joseph". The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 23 (1). 1992: 82–84. doi:10.2307/2686206. JSTOR 2686206.)
Youschkevitch, Adolf P. Gesichte der Mathematik im Mittelalter. Leipzig: BG Teubner Verlagsgesellschaft. 1964.

İslam riyaziyyatı üzrə jurnal məqalələri

Høyrup, Jens. “The Formation of «Islamic Mathematics»: Sources and Conditions”. Filosofi og Videnskabsteori på Roskilde Universitetscenter. 3. Række: Preprints og Reprints 1987 Nr. 1.

Biblioqrafiyalar və bioqrafiyalar

Carl Brockelmann. Geschichte der Arabischen Litteratur. 1.–2. Band, 1.–3. Supplementband. Berlin: Emil Fischer, 1898, 1902; Leiden: Brill, 1937, 1938, 1942.
Biografías de Matemáticos Árabes que florecieron en España. Madrid: Estanislao Maestre. 1921.
Geschichte Des Arabischen Schrifttums (alman). Brill Academic Publishers. 1997. ISBN 90-04-02007-1.
Suter, Heinrich. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften Mit Einschluss Ihrer Anwendungen, X Heft. Leipzig. 1900.

Televiziya sənədli filmləri

Marcus du Sautoy (presenter) (2008). "The Genius of the East". The Story of Maths. BBC.
Jim Al-Khalili (presenter) (2010). Science and Islam (documentary). BBC.

İstinadlar

↑ Katz, (1993): "A complete history of mathematics of medieval Islam cannot yet be written, since so many of these Arabic manuscripts lie unstudied... Still, the general outline... is known. In particular, Islamic mathematicians fully developed the decimal place-value number system to include decimal fractions, systematised the study of algebra and began to consider the relationship between algebra and geometry, studied and made advances on the major Greek geometrical treatises of Euclid, Archimedes, and Apollonius, and made significant improvements in plane and spherical geometry."
^ Smith, (1958), Vol. 1, Chapter VII.4: "In a general way it may be said that the Golden Age of Arabian mathematics was confined largely to the 9th and 10th centuries; that the world owes a great debt to Arab scholars for preserving and transmitting to posterity the classics of Greek mathematics; and that their work was chiefly that of transmission, although they developed considerable originality in algebra and showed some genius in their work in trigonometry."
↑ Lumpkin, Beatrice; Zitler, Siham. Cairo: Science Academy of the Middle Ages // Van Sertima, Ivan (redaktor). Golden age of the Moor, Volume 11. Transaction Publishers. 1992. səh. 394. ISBN 1-56000-581-5. "The Islamic mathematicians exercised a prolific influence on the development of science in Europe, enriched as much by their own discoveries as those they had inherited by the Greeks, the Indians, the Syrians, the Babylonians, etc."
↑ Boyer, 1991. səh. 228
↑ Swetz, Frank J. Learning Activities from the History of Mathematics. Walch Publishing. 1993. səh. 26. ISBN 978-0-8251-2264-4. 2023-08-06 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2022-10-28.
↑ Gullberg, Jan. Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton. 1997. səh. 298. ISBN 0-393-04002-X.
↑ ¹ ² Boyer, 1991. səh. 241–242
↑ Struik, 1987. səh. 97
↑ Berggren, J. Lennart; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn; Rashed, Roshdi. "Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's al-Muʿādalāt". Journal of the American Oriental Society. 110 (2). 1990: 304–309. doi:10.2307/604533. JSTOR 604533.
↑ ¹ ² Sesiano, Jacques. Helaine, Selin; Ubiratan, D'Ambrosio (redaktorlar ). Islamic mathematics. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. 2000. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2.
↑ Allen, G. Donald. "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M University. n.d. 30 August 2000 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 7 September 2016.
↑ Struik, 1987. səh. 93
↑ Rosen, 1831. səh. v–vi
↑ Toomer, Gerald. Al-Khwārizmī, Abu Ja'far Muḥammad ibn Mūsā // Gillispie, Charles Coulston (redaktor). Dictionary of Scientific Biography. 7. New York: Charles Scribner's Sons. 1990. ISBN 0-684-16962-2. 2016-07-02 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2022-10-13 – Encyclopedia.com vasitəsilə.
↑ Berggren, 2007. səh. 518
↑ ¹ ² Rashed, R. The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Springer. 1994-06-30. 36–37. ISBN 9780792325659.
↑ ¹ ² Mat Rofa Bin Ismail, Algebra in Islamic Mathematics // Helaine Selin (redaktor), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 1 (2nd), Springer, 2008, səh. 115, ISBN 9781402045592
↑ Schwartz, R. K. Issues in the Origin and Development of Hisab al-Khata'ayn (Calculation by Double False Position) (PDF). Eighth North African Meeting on the History of Arab Mathematics. Radès, Tunisia. 2004. 2014-05-16 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 2012-06-08. "Issues in the Origin and Development of Hisab al-Khata'ayn (Calculation by Double False Position)". 2011-09-15 tarixində orijinalından (.doc) arxivləşdirilib.

Xarici keçidlər

[1] Katz, (1993): "A complete history of mathematics of medieval Islam cannot yet be written, since so many of these Arabic manuscripts lie unstudied... Still, the general outline... is known. In particular, Islamic mathematicians fully developed the decimal place-value number system to include decimal fractions, systematised the study of algebra and began to consider the relationship between algebra and geometry, studied and made advances on the major Greek geometrical treatises of Euclid, Archimedes, and Apollonius, and made significant improvements in plane and spherical geometry."
^ Smith, (1958), Vol. 1, Chapter VII.4: "In a general way it may be said that the Golden Age of Arabian mathematics was confined largely to the 9th and 10th centuries; that the world owes a great debt to Arab scholars for preserving and transmitting to posterity the classics of Greek mathematics; and that their work was chiefly that of transmission, although they developed considerable originality in algebra and showed some genius in their work in trigonometry."

[2] Lumpkin, Beatrice; Zitler, Siham. Cairo: Science Academy of the Middle Ages // Van Sertima, Ivan (redaktor). Golden age of the Moor, Volume 11. Transaction Publishers. 1992. səh. 394. ISBN 1-56000-581-5. "The Islamic mathematicians exercised a prolific influence on the development of science in Europe, enriched as much by their own discoveries as those they had inherited by the Greeks, the Indians, the Syrians, the Babylonians, etc."

[FOOTNOTEBoyer1991[httpsarchiveorgdetailshistoryofmathema00boyepage228_228]-3] Boyer, 1991. səh. 228

[4] Swetz, Frank J. Learning Activities from the History of Mathematics. Walch Publishing. 1993. səh. 26. ISBN 978-0-8251-2264-4. 2023-08-06 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2022-10-28.

[Gullberg-5] Gullberg, Jan. Mathematics: From the Birth of Numbers. W. W. Norton. 1997. səh. 298. ISBN 0-393-04002-X.

[FOOTNOTEBoyer1991241–242-6] ¹ ² Boyer, 1991. səh. 241–242

[FOOTNOTEStruik198797-7] Struik, 1987. səh. 97

[8] Berggren, J. Lennart; Al-Tūsī, Sharaf Al-Dīn; Rashed, Roshdi. "Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's al-Muʿādalāt". Journal of the American Oriental Society. 110 (2). 1990: 304–309. doi:10.2307/604533. JSTOR 604533.

[Sesiano-9] ¹ ² Sesiano, Jacques. Helaine, Selin; Ubiratan, D'Ambrosio (redaktorlar ). Islamic mathematics. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. 2000. 137–157. ISBN 1-4020-0260-2.

[10] Allen, G. Donald. "The History of Infinity" (PDF). Texas A&M University. n.d. 30 August 2000 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 7 September 2016.

[Struik_93-11] Struik, 1987. səh. 93

[FOOTNOTERosen1831v–vi-12] Rosen, 1831. səh. v–vi

[13] Toomer, Gerald. Al-Khwārizmī, Abu Ja'far Muḥammad ibn Mūsā // Gillispie, Charles Coulston (redaktor). Dictionary of Scientific Biography. 7. New York: Charles Scribner's Sons. 1990. ISBN 0-684-16962-2. 2016-07-02 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2022-10-13 – Encyclopedia.com vasitəsilə.

[FOOTNOTEBerggren2007518-14] Berggren, 2007. səh. 518

[Rashed-15] ¹ ² Rashed, R. The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Springer. 1994-06-30. 36–37. ISBN 9780792325659.

[Ismail-16] ¹ ² Mat Rofa Bin Ismail, Algebra in Islamic Mathematics // Helaine Selin (redaktor), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 1 (2nd), Springer, 2008, səh. 115, ISBN 9781402045592

[17] Schwartz, R. K. Issues in the Origin and Development of Hisab al-Khata'ayn (Calculation by Double False Position) (PDF). Eighth North African Meeting on the History of Arab Mathematics. Radès, Tunisia. 2004. 2014-05-16 tarixində arxivləşdirilib (PDF). İstifadə tarixi: 2012-06-08. "Issues in the Origin and Development of Hisab al-Khata'ayn (Calculation by Double False Position)". 2011-09-15 tarixində orijinalından (.doc) arxivləşdirilib.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]